Question

Для неотрицательных чисел a,b докажите, что a³(b+1)+b³(a+1)>=a²(b+b²)+b²(a+a²)

Answer 1

a³(b+1)+b³(a+1)≤a²(b+b²)+b²(a+a²)

(a³+b³)(b+1)(a+1)≤(a²+b²)(b+b²)(a+a²)

(a³+b³)(b+1)(a+1)≤(a²+b²)ab(b+1)(a+1)

a³+b³≤ab(a²+b²)

a³+b³≤a³+ab²+a²b+b³

a³+b³-a³-b³≤a²b+ab²

0≤a²b+ab²

Что и требовалось доказать

Answer 2

Давайте рассмотрим выражение \(a^3(b + 1) + b^3(a + 1)\) и выражение \(a^2(b + b^2) + b^2(a + a^2)\). Нам нужно доказать, что первое выражение больше или равно второму для неотрицательных чисел \(a\) и \(b\).

Имеем: \[a^3(b + 1) + b^3(a + 1) - \left(a^2(b + b^2) + b^2(a + a^2)\right)\]

Давайте раскроем скобки и упростим:

\[a^3b + a^3 + b^3a + b^3 - a^2b - a^2b^2 - b^2a - b^2a^2\]

Теперь объединим подобные члены:

\[a^3 + b^3 + a^3b + b^3a - a^2b - b^2a - a^2b^2 - b^2a^2\]

Факторизуем по общим множителям:

\[a^3 + b^3 + ab(a^2 + b^2) - ab(a + b)\]

Теперь мы видим, что у нас есть \(a^3 + b^3\) и \(ab(a^2 + b^2 - a - b)\). Мы можем разложить сумму кубов:

\[a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)\]

Таким образом, выражение становится:

\[(a + b)(a^2 - ab + b^2) + ab(a^2 + b^2 - a - b)\]

Теперь давайте факторизуем общий множитель \(a + b\):

\[(a + b)(a^2 - ab + b^2 + ab(a + b) - a - b)\]

Сгруппируем подобные члены:

\[(a + b)(a^2 + b^2 + ab(a + b) - a - b)\]

Теперь мы видим, что у нас есть выражение, которое можно записать как:

\[(a + b)(a^2 + b^2) + ab(a + b - 1)\]

Так как \(a\) и \(b\) неотрицательные числа, все слагаемые в этом выражении положительны. Следовательно, исходное выражение больше или равно нулю для неотрицательных \(a\) и \(b\).