Question

(√x/√x-√y - √y/√x+√y) * x-y /x^2 +xy

Answer 1

$\Big(\dfrac{\sqrt{x} }{\sqrt{x} -\sqrt{y} } -\dfrac{\sqrt{y} }{\sqrt{x} +\sqrt{y} } \Big)\cdot\dfrac{x-y}{x^{2} +xy} =\\\\\\=\dfrac{\sqrt{x} (\sqrt{x} +\sqrt{y})-\sqrt{y} (\sqrt{x} -\sqrt{y}) }{(\sqrt{x} -\sqrt{y} )(\sqrt{x} +\sqrt{y} )} \cdot\dfrac{x-y}{x(x+y)} =\\\\\\=\dfrac{x+\sqrt{xy} -\sqrt{xy} +y}{x-y} \cdot\dfrac{x-y}{x(x+y)} =\dfrac{x+y}{x-y}\cdot\dfrac{x-y}{x(x+y)} =\boxed{\dfrac{1}{x} }$

Answer 2

Давайте разберем выражение поэтапно:

\[ \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - \sqrt{y}} + \frac{\sqrt{y}}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} \times \frac{x - y}{x^2 + xy} \]

1. Общий знаменатель для слагаемых в числителе:

Умножим оба числителя на \((\sqrt{x} + \sqrt{y}) \times (\sqrt{x} - \sqrt{y})\), чтобы избавиться от знаменателей в числителе:

\[ \frac{\sqrt{x} \times (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{\sqrt{x}^2 - \sqrt{y}^2} + \frac{\sqrt{y} \times (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{\sqrt{x}^2 - \sqrt{y}^2} \times \frac{x - y}{x^2 + xy} \]

Разность квадратов \(\sqrt{x}^2 - \sqrt{y}^2\) можно упростить до \(x - y\):

\[ \frac{\sqrt{x} \times (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x - y} + \frac{\sqrt{y} \times (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x - y} \times \frac{x - y}{x^2 + xy} \]

2. Сокращение слагаемых:

Видим, что \((x - y)\) сокращается в числителе второго слагаемого:

\[ \frac{\sqrt{x} \times (\sqrt{x} + \sqrt{y})}{x - y} + \frac{\sqrt{y} \times (\sqrt{x} - \sqrt{y})}{x^2 + xy} \]

3. Умножение числителей:

Раскроем скобки в числителях:

\[ \frac{\sqrt{x} \times \sqrt{x} + \sqrt{x} \times \sqrt{y}}{x - y} + \frac{\sqrt{y} \times \sqrt{x} - \sqrt{y} \times \sqrt{y}}{x^2 + xy} \]

Упростим:

\[ \frac{x + \sqrt{xy}}{x - y} + \frac{\sqrt{xy} - y}{x^2 + xy} \]

4. Общий знаменатель:

Найдем общий знаменатель, который равен произведению знаменателей двух дробей:

\[ (x - y) \times (x^2 + xy) \]

5. Сложение дробей:

Сложим дроби:

\[ \frac{(x + \sqrt{xy})(x^2 + xy) + (\sqrt{xy} - y)(x - y)}{(x - y)(x^2 + xy)} \]

6. Умножение и сокращение:

Раскроем скобки и упростим:

\[ \frac{x^3 + x^2y + x^2\sqrt{xy} + xy\sqrt{xy} + \sqrt{xy}x + xy^2 - yx - y\sqrt{xy}}{x^3 - x^2y + xy^2} \]

Теперь сократим общий множитель в числителе и знаменателе:

\[ \frac{x^2 + \sqrt{xy} + y}{x^2 - y^2} \]

7. Разность квадратов в знаменателе:

Разность квадратов \(x^2 - y^2\) можно упростить:

\[ \frac{x^2 + \sqrt{xy} + y}{(x + y)(x - y)} \]

Таким образом, данное математическое выражение упрощается до \(\frac{x^2 + \sqrt{xy} + y}{(x + y)(x - y)}\).