Question

Может кто подскажет, как решить пример?Известно, что \frac{3y+x}{3y-x}+\frac{3y-x}{3y+x}=\frac{41}{20}. Чему равно значение выражения \frac{2x^{2}+y^{2}}{x^{2}-y^{2}}?

Answer 1

Ответ:

$\displaystyle \frac{3y+x}{3y-x}+\frac{3y-x}{3y+x}=\frac{41}{20}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \frac{(3y+x)^2+(3y-x)^2}{(3y-x)(3y+x)}=\frac{41}{20}\ \ ,\\\\\\\frac{9y^2+6xy+x^2+(9y^2-6xy+x^2)}{9y^2-x^2}=\frac{41}{20}\ \ ,\\\\\\\frac{18y^2+2x^2}{9y^2-x^2}=\frac{41}{20}\ \ ,\ \ \ \frac{2\, (9y^2+x^2)}{9y^2-x^2}=\frac{41}{20}\ \ ,\\\\\\20\cdot 2\, (9y^2+x^2)=41\, (9y^2-x^2)\ \ ,\ \ \ 360y^2+40x^2=369y^2-41x^2\ \ ,\\\\81x^2=9y^2\ \ ,\ \ y^2=\frac{81x^2}{9}\ \ \Rightarrow \ \ y^2=9x^2$

$\dfrac{2x^2+y^2}{x^2-y^2}=\dfrac{2x^2+9x^2}{x^2-9x^2}=\dfrac{11x^2}{-8x^2}=-\dfrac{11}{8}=\boxed{-1\dfrac{3}{8}\ }$

Answer 2

Чтобы решить данный пример, мы должны воспользоваться системой уравнений, которую образуют два уравнения:

1) (3y + x) / (3y - x) + (3y - x) / (3y + x) = 41/20

2) (2x^2 + y^2) / (x^2 - y^2)

Давайте начнем с первого уравнения:

(3y + x) / (3y - x) + (3y - x) / (3y + x) = 41/20

Для удобства воспользуемся заменой переменной, где a = 3y и b = x:

(a + b) / (a - b) + (a - b) / (a + b) = 41/20

Мы заменили выражение 3y на a и x на b. Теперь у нас есть:

(a + b) / (a - b) + (a - b) / (a + b) = 41/20

Теперь умножим обе стороны уравнения на (a - b)(a + b), чтобы избавиться от дробей в знаменателях:

(a + b)(a + b) + (a - b)(a - b) = 41/20 * (a - b)(a + b)

(a^2 + 2ab + b^2) + (a^2 - 2ab + b^2) = (41/20)(a^2 - b^2)

Теперь упростим уравнение:

2a^2 + 2b^2 = (41/20)(a^2 - b^2)

Умножим обе стороны на 20:

40a^2 + 40b^2 = 41(a^2 - b^2)

40a^2 + 40b^2 = 41a^2 - 41b^2

Перенесем все переменные с a влево, и все переменные с b вправо:

a^2 - 40a^2 = 41b^2 - 40b^2

-39a^2 = b^2

Теперь перейдем ко второму уравнению:

(2x^2 + y^2) / (x^2 - y^2)

Мы можем заменить x^2 на a и y^2 на b, так как уже использовали a и b для замены переменных в первом уравнении:

(2a + b) / (a - b)

Теперь, чтобы найти значение выражения (2x^2 + y^2) / (x^2 - y^2), мы можем заменить a^2 на -39a^2 из первого уравнения:

(2(-39a^2) + b) / (-39a^2 - b)

И таким образом, значение выражения (2x^2 + y^2) / (x^2 - y^2) равно:

(2(-39a^2) + b) / (-39a^2 - b)