Question

Решите неравенство: 2cos(x/4)≥1

Answer 1

cos(x/4)≥1/2

-pi/3+2pik≤x/4≤pi/3+2pik-умножу все на 4

-4pi/3+8pik≤x≤4pi/3+8pik; k∈Z

x=[-4pi/3+8pik;4pi/4+8pik]

Answer 2

Давайте решим данное неравенство:

\[2\cos\left(\frac{x}{4}\right) \geq 1.\]

Для начала, давайте поделим обе стороны на 2:

\[\cos\left(\frac{x}{4}\right) \geq \frac{1}{2}.\]

Теперь найдем все значения \(x\), для которых косинус угла \(\frac{x}{4}\) больше или равен \(\frac{1}{2}\). Мы знаем, что косинус равен \(\frac{1}{2}\) при угле \(\frac{\pi}{3}\) (60 градусов), а также при угле \(\frac{5\pi}{3}\) (300 градусов).

Теперь мы можем записать общий вид решения для угла \(\frac{x}{4}\):

\[\frac{x}{4} = \frac{\pi}{3} + 2\pi k, \quad \text{или} \quad \frac{x}{4} = \frac{5\pi}{3} + 2\pi k,\]

где \(k\) - целое число. Теперь умножим обе стороны на 4, чтобы найти значения \(x\):

\[x = 4\left(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right), \quad \text{или} \quad x = 4\left(\frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right).\]

Таким образом, общее решение неравенства \(2\cos\left(\frac{x}{4}\right) \geq 1\) выглядит следующим образом:

\[x = 4\left(\frac{\pi}{3} + 2\pi k\right), \quad \text{или} \quad x = 4\left(\frac{5\pi}{3} + 2\pi k\right),\]

где \(k\) - целое число.