Question

Дан прямоугольник, периметр которого равен 8 см. Определите стороны этого прямоугольника, если известно, что площадь его принимает максимально возможное значение.

Answer 1

Ответ:

2 см и 2 см

Объяснение:

Дан прямоугольник, периметр которого равен 8 см. Тогда сумма двух сторон равна 8:2 = 4 см. Обозначим через x одну сторону прямоугольника. Тогда вторая сторона равна: 4–x. Теперь составим функцию площади прямоугольника: y=x·(4–x)=4·x-x². Дифференцируем функцию

y'=(4·x–x²)'=4–2·x.

Находим критические точки функции:

y'=0 ⇔ 4–2·x=0 ⇔ x=2 – критическая точка.  

Проверим знаки производной:

при x<2: y'=4–2·x>0 и при x>2: y'=4–2·x<0.

Значит, x=2 точка максимума. Тогда

yмакс=y(2)=4·2–2²=8–4=4 см²,

а стороны x=2 см и 4–2=2 см.

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать метод оптимизации. Задача состоит в том, чтобы найти значения сторон прямоугольника, которые максимизируют его площадь при заданном периметре.

Пусть сторона прямоугольника будет обозначена как x, а другая сторона - как y. Тогда периметр прямоугольника равен 2x + 2y.

Мы знаем, что периметр равен 8 см, поэтому мы можем записать уравнение:

2x + 2y = 8

Чтобы максимизировать площадь прямоугольника, мы должны максимизировать произведение его сторон. Площадь прямоугольника выражается как S = x * y.

Теперь у нас есть два уравнения:

2x + 2y = 8 (уравнение периметра) S = x * y (уравнение площади)

Мы можем решить первое уравнение относительно одной переменной (например, x) и подставить его во второе уравнение, чтобы получить уравнение, зависящее только от одной переменной (например, y). Затем мы можем найти максимальное значение этой функции, используя методы дифференциального исчисления или графический метод.

Решим первое уравнение относительно x:

2x + 2y = 8 2x = 8 - 2y x = 4 - y

Теперь подставим это значение x во второе уравнение:

S = (4 - y) * y S = 4y - y^2

Теперь у нас есть уравнение площади, зависящее только от одной переменной y. Чтобы найти максимальное значение площади, мы можем продифференцировать это уравнение по y и найти точку, где производная равна нулю.

dS/dy = 4 - 2y

Теперь приравняем производную к нулю и решим уравнение:

4 - 2y = 0 2y = 4 y = 2

Таким образом, чтобы максимизировать площадь прямоугольника при заданном периметре 8 см, одна сторона должна быть равна 2 см.

Теперь, чтобы найти вторую сторону, мы можем подставить найденное значение y в уравнение периметра:

2x + 2(2) = 8 2x + 4 = 8 2x = 4 x = 2

Таким образом, стороны прямоугольника равны 2 см и 2 см, соответственно, при заданном периметре 8 см, чтобы его площадь принимала максимально возможное значение.