Question

Решите неравенство: √-х+3 ≤ 2х-6

Answer 1

Объяснение:

√- x + 3 <= 2x - 6

Визначте область допустимих значень

√- x + 3 <= 2x - 6, x <= 0

Перенесіть константу у праву частину

√- x <= 2x - 6 - 3

Обчисліть

√- x <= 2x - 9

Розділіть на можливі випадки

√ -x <=; - 2x - 9 >= 0 √- x <= 2x - 9/2x - 9 < 0

Розв'яжіть

Твердження хибне

x € R ,x>= 9/2

x € ∅ ,x< 9/2

Знайдіть перетин

x €[ 9/2 ,+ ∞)

x €∅

Знайдіть об'єднання

x €[ 9/2 ,+ ∞),x<=0

Знайдіть перетин

Рішення

x € ∅

Answer 2

Давайте решим данное неравенство шаг за шагом.

Имеем неравенство:

\[ \sqrt{-x + 3} \le 2x - 6 \]

Прежде всего, заметим, что выражение под корнем (\(-x + 3\)) должно быть неотрицательным, так как квадратный корень из отрицательного числа не существует в вещественных числах. Поэтому:

\[ -x + 3 \ge 0 \]

Теперь решим это неравенство:

\[ -x + 3 \ge 0 \]

Выразим \(x\):

\[ -x \ge -3 \]

Умножим обе стороны на -1 и поменяем знак:

\[ x \le 3 \]

Таким образом, неравенство \(-x + 3 \ge 0\) выполняется при \(x \le 3\).

Теперь у нас есть два случая:

1. Когда \(x \le 3\): В этом случае, у нас есть неравенство: \[ \sqrt{-x + 3} \le 2x - 6 \] Поскольку мы знаем, что \(x \le 3\), мы можем подставить это в неравенство: \[ \sqrt{-x + 3} \le 2x - 6 \] \[ \sqrt{-(3) + 3} \le 2(3) - 6 \] \[ \sqrt{0} \le 6 - 6 \] \[ 0 \le 0 \] Это верное утверждение.

2. Когда \(x > 3\): В этом случае, у нас есть неравенство: \[ \sqrt{-x + 3} \le 2x - 6 \] Теперь возведем обе стороны неравенства в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ -x + 3 \le (2x - 6)^2 \] Раскроем скобки: \[ -x + 3 \le 4x^2 - 24x + 36 \] Переносим все в одну сторону: \[ 4x^2 - 23x + 33 \ge 0 \]

Это квадратное уравнение имеет корни:

\[ x_1 = \frac{23 + \sqrt{23^2 - 4(4)(33)}}{8} \] \[ x_2 = \frac{23 - \sqrt{23^2 - 4(4)(33)}}{8} \]

Когда \(x\) находится в интервале \((x_2, x_1)\), уравнение \(4x^2 - 23x + 33\) будет положительным, и неравенство будет выполняться. Таким образом, для \(x > 3\) неравенство также выполняется.

Таким образом, решение данного неравенства: \(x \le 3\).