Question

Показательные уравнения. Объясните пожалуйста,как они решаются? (4/5) в степени 2x<или=(5/4) в степени 3x-4

Answer 1

Ответ:

$x \geqslant 0.8$

Объяснение:

${( \frac{4}{5})}^{2x} \leqslant {( \frac{5}{4})}^{3x - 4}$

${( \frac{5}{4}) }^{3x - 4} = {(( { \frac{4}{5})}^{ - 1})}^{3x - 4} = {( \frac{4}{5})}^{ - 1 \times (3x - 4)} = {( \frac{4}{5})}^{ - 3x + 4}$

${( \frac{4}{5})}^{2x} \leqslant {( \frac{4}{5}) }^{ - 3x + 4}$

простейшее показательное неравенство, основание степени а =(4/5).

0<(4/5)<1, => знак неравенства меняем

$2x \geqslant - 3x + 4 \\ 5x \geqslant 4 \\ x \geqslant 0.8$

Answer 2

Показательные уравнения - это уравнения, в которых неизвестное число является показателем степени. Для решения показательных уравнений обычно используются свойства степеней и логарифмов.

Давайте разберемся с вашим примером: (4/5) в степени 2x ≤ (5/4) в степени 3x - 4.

Шаг 1: Приведение к общему основанию

Первым шагом в решении показательных уравнений является приведение всех выражений к общему основанию.

В данном случае у нас есть основание 4/5 в левой части и основание 5/4 в правой части. Чтобы привести их к общему основанию, мы можем возвести оба выражения в степень, обратную их основанию.

(4/5) в степени 2x становится (4/5) в степени 2x / (4/5) в степени 1, что равно (4/5) в степени (2x - 1).

(5/4) в степени 3x - 4 остается неизменным.

Теперь у нас есть уравнение: (4/5) в степени (2x - 1) ≤ (5/4) в степени (3x - 4).

Шаг 2: Приведение к логарифмической форме

Вторым шагом в решении показательных уравнений является приведение уравнения к логарифмической форме. Мы можем применить логарифмы с общим основанием к обеим сторонам уравнения.

Логарифмы с общим основанием помогут нам избавиться от показателей степени и привести уравнение к более простому виду.

Применяя логарифм с основанием 4/5 к обеим сторонам уравнения, мы получим:

log_(4/5)((4/5)^2x-1) ≤ log_(4/5)((5/4)^3x-4)

Шаг 3: Использование свойств логарифмов

Следующим шагом в решении показательных уравнений является использование свойств логарифмов для упрощения выражений.

Свойство логарифма говорит нам, что log_b(b^a) = a. Применяя это свойство к обеим сторонам уравнения, мы получим:

(2x - 1) log_(4/5)(4/5) ≤ (3x - 4) log_(4/5)(5/4)

Здесь мы использовали свойство логарифма log_b(b) = 1.

Шаг 4: Решение уравнения

Дальше мы можем решить полученное уравнение относительно неизвестной переменной x.

(2x - 1) log_(4/5)(4/5) ≤ (3x - 4) log_(4/5)(5/4)

Теперь мы можем поделить обе стороны уравнения на log_(4/5)(4/5):

2x - 1 ≤ (3x - 4) log_(4/5)(5/4) / log_(4/5)(4/5)

Шаг 5: Решение неравенства

Далее, чтобы решить неравенство относительно x, мы можем продолжить упрощение и выделить x на одну сторону:

2x - (3x - 4) log_(4/5)(5/4) / log_(4/5)(4/5) ≤ 1

2x - 3x + 4 log_(4/5)(5/4) / log_(4/5)(4/5) ≤ 1

-x + 4 log_(4/5)(5/4) / log_(4/5)(4/5) ≤ 1

Теперь мы можем решить это неравенство относительно x. После нахождения решений, мы можем проверить их, подставив значения x в исходное уравнение, чтобы убедиться, что они удовлетворяют условию.

Обратите внимание: Необходимо убедиться, что логарифмы в уравнении имеют допустимые значения. Возможно, потребуется проверить ограничения и исключить значения, при которых логарифмы становятся неопределенными или отрицательными.