Question

Розв'яжи нерівніст 1)3x2+4x+1≤0​

Answer 1

Объяснение:

......................

Answer 2

Щоб розв'язати нерівність \(3x^2 + 4x + 1 \leq 0\), спробуємо знайти корені квадратного тричлена \(3x^2 + 4x + 1\) і визначити, де цей тричлен менше або дорівнює нулю.

Спочнемо зі знаходження коренів квадратного тричлена. Маємо:

\[3x^2 + 4x + 1 = 0\]

Розв'язок квадратного рівняння можна знайти за допомогою квадратного кореня:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]

У нашому випадку \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = 1\). Підставимо ці значення у формулу:

\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(3)(1)}}{2(3)}\]

\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 12}}{6}\]

\[x = \frac{-4 \pm \sqrt{4}}{6}\]

\[x = \frac{-4 \pm 2}{6}\]

Таким чином, маємо два корені:

\[x_1 = \frac{-4 + 2}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}\]

\[x_2 = \frac{-4 - 2}{6} = \frac{-6}{6} = -1\]

Отже, ми маємо два корені рівняння \(3x^2 + 4x + 1 = 0\): \(x_1 = -\frac{1}{3}\) і \(x_2 = -1\).

Тепер розглянемо знак тричлена \(3x^2 + 4x + 1\) в інтервалах між коренями.

1. Корені розділяють вісь \(x\) на три інтервали: \((-\infty, -\frac{1}{3})\), \((-1, -\infty)\), \((-\frac{1}{3}, \infty)\). 2. Виберемо значення в кожному інтервалі, наприклад, \(x = -\frac{1}{2}\), \(x = -\frac{3}{2}\), \(x = 0\). 3. Підставимо ці значення в оригінальну нерівність \(3x^2 + 4x + 1 \leq 0\) і визначимо знак виразу в кожному інтервалі.

- Для інтервалу \((-\infty, -\frac{1}{3})\): \(3(-\frac{1}{2})^2 + 4(-\frac{1}{2}) + 1 = \frac{3}{4} - 2 + 1 = -\frac{1}{4} < 0\). - Для інтервалу \((-1, -\infty)\): \(3(-\frac{3}{2})^2 + 4(-\frac{3}{2}) + 1 = \frac{27}{4} - 6 + 1 = \frac{1}{4} > 0\). - Для інтервалу \((-\frac{1}{3}, \infty)\): \(3(0)^2 + 4(0) + 1 = 1 > 0\).

Отже, нерівність \(3x^2 + 4x + 1 \leq 0\) виконується на інтервалах \((-\infty, -\frac{1}{3})\) і \((-\frac{1}{3}, \infty)\).