Question

Найдите, что кратность геометрической прогрессии разницы между пятым и третьим членами равна 90, а разность между пятым и четвертым членами равна 72.

Answer 1

$\displaystyle\bf\\\left \{ {{b_{5} -b_{3}=90 } \atop {b_{5} -b_{4} =72}} \right. \\\\\\\left \{ {{b_{1} q^{4} -b_{1}q^{2} =90 } \atop {b_{1} q^{4} -b_{1} q^{3} =72}} \right. \\\\\\\left \{ {{b_{1}q^{2} (q^{2} -1)=90 } \atop {b_{1} q^{3}(q-1)=72 }} \right. \\\\\\:\left \{ {{b_{1}q^{2} (q -1)(q+1)=90 } \atop {b_{1} q^{3}(q-1)=72 }} \right.\\--------------\\\frac{q+1}{q} =\frac{90}{72} \\\\\\\frac{q+1}{q} =\frac{5}{4} \\\\5q=4(q+1)\\\\5q=4q+4\\\\5q-4q=4\\\\q=4$

Answer 2

Давайте разберемся в данной задаче. У нас есть геометрическая прогрессия, и мы знаем разницу между пятым и третьим членами равна 90, а разность между пятым и четвертым членами равна 72.

Пусть первый член геометрической прогрессии будет равен a, а знаменатель (отношение между членами) будет равен r.

Тогда третий член будет равен ar^2, пятый член будет равен ar^4, а четвертый член будет равен ar^3.

Мы знаем, что разница между пятым и третьим членами равна 90, поэтому:

ar^4 - ar^2 = 90

Также мы знаем, что разность между пятым и четвертым членами равна 72, поэтому:

ar^4 - ar^3 = 72

Мы можем использовать эти два уравнения для нахождения значения a и r.

Вычитая второе уравнение из первого, получим:

ar^3 - ar^2 - (ar^4 - ar^3) = 90 - 72

Упрощая это уравнение, получим:

ar^3 - ar^2 - ar^4 + ar^3 = 18

2ar^3 - ar^2 - ar^4 = 18

ar^2(2r - 1) - ar^2(1 - r^2) = 18

ar^2(2r - 1 + 1 - r^2) = 18

ar^2(r^2 - 2r + 1) = 18

ar^2(r - 1)^2 = 18

Теперь мы можем решить это уравнение, подставив известные значения разницы между пятым и третьим членами (90) и разности между пятым и четвертым членами (72):

90(r - 1)^2 = 18

Разделим обе части уравнения на 90:

(r - 1)^2 = 2/10

(r - 1)^2 = 1/5

Теперь возьмем квадратный корень от обеих сторон уравнения:

r - 1 = ±√(1/5)

r - 1 = ±√(1/5) = ±1/√5

Теперь решим для r:

r = 1 ± 1/√5

Мы получили два возможных значения для r.

Первый случай: r = 1 + 1/√5

Теперь подставим это значение r обратно в одно из исходных уравнений:

ar^4 - ar^2 = 90

Подставим r = 1 + 1/√5:

a(1 + 1/√5)^4 - a(1 + 1/√5)^2 = 90

Мы можем решить это уравнение для a. Подставив значения, найденные для a и r, мы сможем найти искомую геометрическую прогрессию.

Второй случай: r = 1 - 1/√5

Аналогично, мы можем подставить это значение r обратно в одно из исходных уравнений:

ar^4 - ar^2 = 90

Подставим r = 1 - 1/√5:

a(1 - 1/√5)^4 - a(1 - 1/√5)^2 = 90

Мы можем решить это уравнение для a. Подставив значения, найденные для a и r, мы сможем найти искомую геометрическую прогрессию.

В итоге, после решения уравнений для a и r, мы сможем найти искомую геометрическую прогрессию.