Question

Решите тригонометрические уравнение 4 sin^2x=3+2sinxcosx

Answer 1

Ответ:

$x_{1} = - \frac{\pi}{4} + \pi \: n \\ x_{2} = arctg3 + \pi \: n$

n€Z

Объяснение:

$4 {sin}^{2} x = 3 + 2sinx \times cosx \\ 4 {sin}^{2} x = 3 \times ( {sin}^{2} x + {cos}^{2} x) + 2sinx \times cosx \\ {sin}^{2} x - 3 {cos}^{2} x - 2sinx \times cosx = 0 | \div {cos}^{2} x \\ \frac{ {sin}^{2}x }{ {cos}^{2}x } - \frac{3 {cos}^{2}x }{ {cos}^{2}x} - \frac{2sinxcosx}{ {cos}^{2} x} = 0$

${tg}^{2} x - 2tgx - 3 = 0$

- тригонометрическое квадратное уравнение, замена переменной:

$tgx = t \\ {t}^{2} - 2t - 3 = 0 \\ t_{1} = - 1 \\ t_{2} = 3$

обратная замена:

$t_{1} = - 1 \\ tgx = - 1$

- простейшее тригонометрическое уравнение

$x = arctg( - 1) + \pi \: n$

n€Z, знак € читать "принадлежит"

$x = - arctg1 + \pi \: n \\ x = - \frac{\pi}{4} + \pi \: n$

$t_{2} = 3 \\ tgx = 3 \\ x = arctg3 + \pi \: n$

Answer 2

Для решения данного тригонометрического уравнения, воспользуемся известным тригонометрическим тождеством:

sin(2x) = 2sin(x)cos(x)

Мы можем заметить, что уравнение 4sin^2(x) = 3 + 2sin(x)cos(x) очень похоже на это тождество. Давайте попробуем его применить.

Применение тригонометрического тождества:

Заменим 2sin(x)cos(x) в исходном уравнении на sin(2x):

4sin^2(x) = 3 + sin(2x)

Теперь у нас есть уравнение только с одной переменной x.

Приведение уравнения к квадратному виду:

Для приведения уравнения к квадратному виду, мы можем воспользоваться тригонометрической подстановкой.

Пусть u = sin(x), тогда sin(2x) = 2u * sqrt(1 - u^2).

Заменим sin(2x) на 2u * sqrt(1 - u^2) в уравнении:

4u^2 = 3 + 2u * sqrt(1 - u^2)

Умножим обе части уравнения на sqrt(1 - u^2):

4u^2 * sqrt(1 - u^2) = 3 * sqrt(1 - u^2) + 2u * (1 - u^2)

Приведение уравнения к квадратному виду:

Теперь мы можем привести уравнение к квадратному виду, заменив u^2 на t:

4t * sqrt(1 - t) = 3 * sqrt(1 - t) + 2(1 - t)

4t * sqrt(1 - t) - 3 * sqrt(1 - t) - 2 + 2t = 0

Упростим выражение:

4t * sqrt(1 - t) - 3 * sqrt(1 - t) + 2t - 2 = 0

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно t.

Решение квадратного уравнения:

Решим квадратное уравнение:

4t * sqrt(1 - t) - 3 * sqrt(1 - t) + 2t - 2 = 0

Приведем подобные и упростим выражение:

(4t - 3) * sqrt(1 - t) + (2t - 2) = 0

(4t - 3) * sqrt(1 - t) = 2(1 - t)

Разделим обе части на (1 - t):

4t - 3 = 2

4t = 5

t = 5/4

Возврат к исходной переменной:

Теперь, когда мы нашли значение t, мы можем вернуться к исходной переменной u:

t = sin^2(x)

sin^2(x) = 5/4

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

sin(x) = sqrt(5)/2

Таким образом, мы получили решение исходного тригонометрического уравнения:

x = arcsin(sqrt(5)/2) + 2πn или x = π - arcsin(sqrt(5)/2) + 2πn, где n - целое число.