Question

ДАМ 30 БАЛЛОВ, СРОЧНО 4 cos2⁡x − sin2⁡x = sin⁡ x с полным решением, пожалуйста !!!

Answer 1

Объяснение:

4cos2xsinx−2sin2x=3sinx⇒4(1−sin2x)sinx−2sin2x=3sinx⇒4sinx−4sin3x−2sin2x=3sinx⇒−4sin3x−2sin2x+sinx=0⇒4sin3x+2sin2x−sinx=0⇒sinx(4sin2x+2sinx−1=0)

⇒sinx=0 or 4sin2x+2sinx−1=0

⇒sinx=0 or sinx=2⋅4−2±4+16

⇒sinx=0 or sinx=4−1±5

⇒x=nπ or x=mπ+(−1)msin−1(4

Answer 2

Я могу помочь вам решить тригонометрическое уравнение 4 cos^2 x - sin^2 x = sin x. Для этого я буду использовать некоторые формулы и свойства тригонометрических функций. Вот подробное решение:

Первый шаг: преобразуем левую часть уравнения, используя формулу двойного угла для косинуса: $$\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$$ Тогда получим: $$4 \cos^2 x - \sin^2 x = 4 \cos 2x + 3 \sin^2 x$$

Второй шаг: переносим все слагаемые в одну часть уравнения и приравниваем к нулю: $$4 \cos 2x + 3 \sin^2 x - \sin x = 0$$

Третий шаг: вводим замену переменной: $$t = \sin x$$ Тогда получим: $$4 \cos 2x = 4 (1 - t^2)$$ Подставляем в исходное уравнение и получаем квадратное уравнение относительно t: $$4 (1 - t^2) + 3 t^2 - t = 0$$ Упрощаем и приводим к стандартному виду: $$t^2 - t - 1 = 0$$

Четвертый шаг: решаем квадратное уравнение, используя формулу корней: $$t = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$$ Тогда получим два корня: $$t_1 = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$$ $$t_2 = \frac{1 - \sqrt{5}}{2}$$

Пятый шаг: возвращаемся к исходной переменной x и находим ее значения, используя обратную функцию синуса: $$x = \arcsin t$$ Тогда получим два значения: $$x_1 = \arcsin \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right)$$ $$x_2 = \arcsin \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right)$$

Шестой шаг: учитываем, что синус является периодической функцией с периодом 2π, и добавляем к общему решению все возможные значения, отличающиеся на кратное 2π: $$x = \arcsin t + 2 \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$$ Тогда получим окончательный ответ: $$x = \arcsin \left(\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\right) + 2 \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$$ $$x = \arcsin \left(\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\right) + 2 \pi n, \; n \in \mathbb{Z}$$

Надеюсь, это поможет вам понять решение уравнения. Вы можете также посмотреть другие примеры решения тригонометрических уравнений на сайте [Калькулятор онлайн - Решение тригонометрических уравнений](https://www.math-solution.ru/math-task/trigonometry-equality). Спасибо за ваш вопрос!