Question

Решите неравенство f'(x)<0 если: f(x)=2x^4-x^8​

Answer 1

Объяснение:

$f(x)=2x^4-x^8\\ f'(x)=(2x^4-x^8)'=2*4*x^3-8*x^7=8*x^3-8*x^7=\\ =8x^3*(1-x^4)=8x^3*(1^2-(x^2)^2)=\\ =8x^3*(1+x^2)*(1-x^2)=8x^3*(1+x^2)*(1+x)*(1-x).\\ 8x^3*(1+x^2)*(1+x)*(1-x)$

-∞__+__-1__-__0__+__1__-__+∞

Ответ: x∈(-1;0)U(1;+∞).

Answer 2

Чтобы решить неравенство \(f'(x) < 0\), нужно найти производную функции \(f(x)\) и определить интервалы, на которых эта производная отрицательна.

Дана функция \(f(x) = 2x^4 - x^8\). Давайте найдем ее производную \(f'(x)\) по переменной \(x\):

\[f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^4 - x^8)\]

Применим правила дифференцирования:

\[f'(x) = 8x^3 - 8x^7\]

Теперь мы можем решить неравенство \(f'(x) < 0\):

\[8x^3 - 8x^7 < 0\]

Вынесем общий множитель:

\[8x^3(1 - x^4) < 0\]

Теперь определим интервалы, на которых это неравенство выполнено. Множитель \(8x^3\) всегда положителен, так что нам интересен знак выражения \((1 - x^4)\).

\[(1 - x^4) < 0\]

Это неравенство можно переписать так:

\[(1 - x^2)(1 + x^2) < 0\]

Теперь рассмотрим знаки множителей на интервалах между корнями уравнения \(1 - x^2 = 0\) и \(1 + x^2 = 0\):

\[ \begin{align*} 1 - x^2 & = 0 \quad \Rightarrow \quad x = \pm 1 \\ 1 + x^2 & = 0 \quad \Rightarrow \quad \text{нет действительных корней} \end{align*} \]

Итак, у нас есть три интервала между корнями: \((- \infty, -1)\), \((-1, 1)\), и \((1, +\infty)\).

Теперь анализируем знак выражения \((1 - x^4)\) на этих интервалах:

\[ \begin{align*} & (1 - x^2)(1 + x^2) < 0 \\ & \text{на } (-\infty, -1): \quad (-)(-) < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{неравенство выполнено} \\ & \text{на } (-1, 1): \quad (+)(+) < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{неравенство не выполнено} \\ & \text{на } (1, +\infty): \quad (-)(-) < 0 \quad \Rightarrow \quad \text{неравенство выполнено} \end{align*} \]

Таким образом, неравенство \(f'(x) < 0\) выполняется на интервалах \((- \infty, -1)\) и \((1, +\infty)\). В этих интервалах производная функции \(f(x)\) отрицательна.