Question

Искренне прошу помочь! даю макс. бал. Ctgx - 2tg2x - 4tg4x = 9tgx

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\mathrm{ctg}\,x-2\mathrm{tg}\,2x-4\mathrm{tg}\,4x=9\mathrm{tg}\,x$

Выполним "хитрое" преобразование:

$\left(\mathrm{ctg}\,x-\mathrm{tg}\,x\right)-2\mathrm{tg}\,2x-4\mathrm{tg}\,4x=8\mathrm{tg}\,x$

Я не с проста выделил скобками разность тангенса и котангенса.

Давайте разберемся в чем здесь секрет:

$\mathrm{ctg}\,x-\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}=2\cdot\dfrac{\cos^2 x-\sin^2 x}{2\sin x\cos x}=2\mathrm{ctg}\,2x$

О чудо! Уравнение приняло вид:

$\left(2\mathrm{ctg}\,2x-2\mathrm{tg}\,2x\right)-4\mathrm{tg}\,4x=8\mathrm{tg}\,x$

Думаю теперь не возникает вопросов, что делать.

Ведь теперь алгоритм решения стал прозрачным:

$\left(4\mathrm{ctg}\,4x-4\mathrm{tg}\,4x\right)=8\mathrm{tg}\,x$

И снова "сжимаем" уравнение:

$\mathrm{ctg}\,8x=\mathrm{tg}\,x$

Теперь осталось решить то, что записано выше:

$></p> <p><img src=$

Тогда:

$\left\{\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{n\pi}{9},\;\n\in\mathbb{Z}\\\\x\ne\dfrac{k\pi}{8},\;k\in\mathbb{Z}\\\\x\ne\dfrac{\pi}{2}+m\pi,\;m\in\mathbb{Z}\end{array}\right;$

И эту систему можно записать покороче:

$\left\{\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{n\pi}{9},\;\n\in\mathbb{Z}\\\\x\ne\dfrac{\pi}{2}+m\pi,\;m\in\mathbb{Z}\end{array}\right;$

Уравнение решено!

Answer 2

Давайте решим данное уравнение шаг за шагом. У нас есть уравнение:

\[ \cos^2{x} - 2\cos{x}\sin{x} - 4\sin^2{x} = 9\cos{x}. \]

Для удобства представим все в терминах \(\cos{x}\) и \(\sin{x}\). Мы знаем, что \(\sin^2{x} + \cos^2{x} = 1\), следовательно, \(\sin^2{x} = 1 - \cos^2{x}\). Подставим это в уравнение:

\[ \cos^2{x} - 2\cos{x}(1-\cos^2{x}) - 4(1-\cos^2{x})^2 = 9\cos{x}. \]

Раскроем скобки:

\[ \cos^2{x} - 2\cos{x} + 2\cos^3{x} - 4 + 8\cos^2{x} - 4\cos^4{x} = 9\cos{x}. \]

Теперь сгруппируем все члены:

\[ -4\cos^4{x} + 9\cos^2{x} + 2\cos^3{x} - 2\cos{x} - 4 = 0. \]

Это уравнение четвертой степени. Чтобы решить его, можно воспользоваться методами решения уравнений этой степени, однако, в данном случае, может быть удобнее воспользоваться численными методами или графическим решением.

Если вы предоставите дополнительные условия или критерии для решения уравнения, я с удовольствием помогу вам дальше.