Question

Ctgx - 2tg2x - 4tg4x = 9tgx

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\mathrm{ctg}\,x-2\mathrm{tg}\,2x-4\mathrm{tg}\,4x=9\mathrm{tg}\,x$

Выполним "хитрое" преобразование:

$\left(\mathrm{ctg}\,x-\mathrm{tg}\,x\right)-2\mathrm{tg}\,2x-4\mathrm{tg}\,4x=8\mathrm{tg}\,x$

Я не с проста выделил скобками разность тангенса и котангенса.

Давайте разберемся в чем здесь секрет:

$\mathrm{ctg}\,x-\mathrm{tg}\,x=\dfrac{\cos x}{\sin x}-\dfrac{\sin x}{\cos x}=2\cdot\dfrac{\cos^2 x-\sin^2 x}{2\sin x\cos x}=2\mathrm{ctg}\,2x$

О чудо! Уравнение приняло вид:

$\left(2\mathrm{ctg}\,2x-2\mathrm{tg}\,2x\right)-4\mathrm{tg}\,4x=8\mathrm{tg}\,x$

Думаю теперь не возникает вопросов, что делать.

Ведь теперь алгоритм решения стал прозрачным:

$\left(4\mathrm{ctg}\,4x-4\mathrm{tg}\,4x\right)=8\mathrm{tg}\,x$

И снова "сжимаем" уравнение:

$\mathrm{ctg}\,8x=\mathrm{tg}\,x$

Теперь осталось решить то, что записано выше:

$></p> <p><img src=$

Тогда:

$\left\{\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{n\pi}{9},\;\n\in\mathbb{Z}\\\\x\ne\dfrac{k\pi}{8},\;k\in\mathbb{Z}\\\\x\ne\dfrac{\pi}{2}+m\pi,\;m\in\mathbb{Z}\end{array}\right;$

И эту систему можно записать покороче:

$\left\{\begin{array}{c}x=\dfrac{\pi}{18}+\dfrac{n\pi}{9},\;\n\in\mathbb{Z}\\\\x\ne\dfrac{\pi}{2}+m\pi,\;m\in\mathbb{Z}\end{array}\right;$

Уравнение решено!

Answer 2

Давайте решим уравнение, которое вы предоставили:

\[ \cos(x) - 2\tan^2(x) - 4\tan^4(x) = 9\tan(x) \]

Для начала, заменим \(\tan(x)\) на \(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\), чтобы упростить уравнение.

\[ \cos(x) - 2\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^2 - 4\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right)^4 = 9\left(\frac{\sin(x)}{\cos(x)}\right) \]

Теперь умножим обе стороны на \(\cos^4(x)\), чтобы избавиться от знаменателя в выражении:

\[ \cos^5(x) - 2\sin^2(x)\cos^2(x) - 4\sin^4(x) = 9\sin(x)\cos^3(x) \]

Теперь заметим, что \(\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)\). Заменим это в уравнении:

\[ \cos^5(x) - 2(1-\cos^2(x))\cos^2(x) - 4(1-\cos^2(x))^2 = 9\sin(x)\cos^3(x) \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ \cos^5(x) - 2\cos^2(x) + 2\cos^4(x) - 4(1-2\cos^2(x)+\cos^4(x)) = 9\sin(x)\cos^3(x) \]

Теперь сгруппируем подобные члены:

\[ \cos^5(x) - 2\cos^2(x) + 2\cos^4(x) - 4 + 8\cos^2(x) - 4\cos^4(x) = 9\sin(x)\cos^3(x) \]

Сократим подобные члены:

\[ -2\cos^2(x) + 2\cos^4(x) + 8\cos^2(x) = 9\sin(x)\cos^3(x) + 4 \]

\[ 2\cos^4(x) + 6\cos^2(x) - 9\sin(x)\cos^3(x) - 4 = 0 \]

Теперь это уравнение может быть решено относительно \(\cos(x)\), и в зависимости от значения \(\cos(x)\) можно найти соответствующие значения для \(x\). К сожалению, аналитическое решение этого уравнения может быть сложным, и часто для его решения приходится использовать численные методы или графический анализ.