Question

при каких значениях параметра c неравенство log2 (x ^ 2 - (2c - 4) * x - 6c + 20) > 3 имеет решение при всех x∈R

Answer 1

Ответ:

(см. объяснение)

Объяснение:

$\log_2(x^2-(2c-4)x-6c+20)>3\\x^2-(2c-4)x-6c+20>8$

Эта строчка хорошо показывает, что аргумент логарифма есть число положительное, что избавляет от исследования ОДЗ.

Идем дальше:

$x^2-(2c-4)x-6c+20>8\\x^2-(2c-4)x-6c+12>0$

Введем функцию $f(x)=x^2-(2c-4)x-6c+12$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Тогда неравенство будет верно при всех $x$, если дискриминант будет отрицательный.

Значит:

$\dfrac{D}{4}=(c-2)^2+6c-12=c^2+2c-8=(x+4)(x-2)$

Откуда получаем, что при $c\in(-4;\;2)$ исходное неравенство выполняется для любого $x\in\mathbb{R}$.

Задание выполнено!

Answer 2

Для решения данного неравенства, давайте разберемся, в каких значениях параметра c оно имеет решение при всех значениях x ∈ R.

Шаг 1: Раскрытие логарифма

Начнем с раскрытия логарифма. Имеем:

log2(x^2 - (2c - 4) * x - 6c + 20) > 3

Шаг 2: Применение свойств логарифмов

Используя свойство логарифма, можем переписать неравенство в эквивалентной форме:

x^2 - (2c - 4) * x - 6c + 20 > 2^3

Шаг 3: Упрощение

Выполним упрощение правой части неравенства:

x^2 - (2c - 4) * x - 6c + 20 > 8

Шаг 4: Перенос всех членов в одну сторону

Перенесем все члены в левую сторону неравенства:

x^2 - (2c - 4) * x - 6c + 20 - 8 > 0

x^2 - (2c - 4) * x - 6c + 12 > 0

Шаг 5: Решение квадратного уравнения

Теперь мы имеем квадратное уравнение, и нам нужно найти значения параметра c, при которых это уравнение имеет положительные корни или вещественные корни вообще.

Для нахождения таких значений параметра c, рассмотрим дискриминант квадратного уравнения:

D = b^2 - 4ac

где a = 1, b = -(2c - 4), c = -6c + 12.

Шаг 6: Анализ дискриминанта

Поскольку нам нужны положительные корни или вещественные корни вообще, мы должны убедиться, что дискриминант D > 0 или D ≥ 0.

D = (-(2c - 4))^2 - 4 * 1 * (-6c + 12)

D = (2c - 4)^2 + 24c - 48

Шаг 7: Решение неравенства для D

Рассмотрим неравенство D > 0:

(2c - 4)^2 + 24c - 48 > 0

(2c - 4)^2 + 24c > 48

Шаг 8: Факторизация и анализ

Факторизуем квадратный трехчлен:

(2c - 4)(2c - 4) + 24c > 48

(2c - 4)^2 + 24c > 48

Раскроем скобки:

4c^2 - 16c + 16 + 24c > 48

4c^2 + 8c + 16 > 48

4c^2 + 8c - 32 > 0

Упростим:

c^2 + 2c - 8 > 0

Шаг 9: Решение квадратного уравнения для c^2 + 2c - 8 = 0

Найдем корни квадратного уравнения c^2 + 2c - 8 = 0:

c = (-2 ± √(2^2 - 4 * 1 * (-8))) / (2 * 1)

c = (-2 ± √(4 + 32)) / 2

c = (-2 ± √36) / 2

c = (-2 ± 6) / 2

c1 = 2, c2 = -4

Шаг 10: Ответ

Таким образом, неравенство log2(x^2 - (2c - 4) * x - 6c + 20) > 3 имеет решение при всех x ∈ R, когда параметр c принимает значения c ∈ (-∞, -4) ∪ (2, +∞).