Question

Решите неравенствоf'(x)⩾0 y = 1/3x³-x²-8x-1​

Answer 1

Ответ:

Пользуемся формулами:

$\boxed{\ (u\pm v)'=u'\pm v'\ \ \ ,\ \ (x^{n})'=nx^{n-1}\ \ ,\ \ (Cu)'=Cu'\ }\\\\y=\dfrac{1}{3}\, x^3-x^2-8x-1\ \ ,\ \ \ f'(x)\geq 0\ \ ,\\\\y'=\dfrac{1}{3}\cdot 3x^2-2x-8\ \ ,\ \ \ x^2-2x-8\geq 0$

Корни квадратного трёхчлена найдём по теореме Виета, это будут числа   $x_1=-2\ ,\ x_2=4$  .

Разложим левую часть неравенства на множители.

$(x+2)(x-4)\geq 0$

Hешим неравенство методом интервалов . Отметим нули функции на оси и расставим знаки в образовавшихся интервалах.

  $+++[-2\ ]---[\ 4\ ]+++$  .

Выбираем знак плюс .

$x\in (-\infty \, ;-2\ ]\cup [\ 4\ ;+\infty \, )$

Answer 2

Решение неравенства f'(x) ⩾ 0

Для решения данного неравенства, мы должны найти значения x, для которых производная функции f(x) больше или равна нулю.

Начнем с того, что найдем производную функции f(x). Для этого нам понадобится выразить f(x) в явном виде, а затем найти производную.

Исходная функция: f(x) = 1/3x³ - x² - 8x - 1

Теперь найдем производную функции f(x) по переменной x, обозначим ее как f'(x): f'(x) = (d/dx)(1/3x³) - (d/dx)(x²) - (d/dx)(8x) - (d/dx)(1)

Вычислим производные каждого члена по отдельности: f'(x) = x² - 2x - 8

Теперь у нас есть производная функции f(x), и мы можем перейти к решению неравенства.

Решение неравенства: f'(x) ⩾ 0

Для решения данного неравенства, найдем корни уравнения f'(x) = 0, а затем определим знак производной на каждом из интервалов, образованных этими корнями.

Сначала найдем корни уравнения f'(x) = 0: x² - 2x - 8 = 0

Для нахождения корней данного квадратного уравнения воспользуемся квадратным корнем: D = b² - 4ac D = (-2)² - 4*1*(-8) D = 4 + 32 D = 36

x₁,₂ = (-b ± √D) / (2a) x₁,₂ = (2 ± √36) / 2 x₁,₂ = (2 ± 6) / 2 x₁ = (2 + 6) / 2 x₁ = 8 / 2 x₁ = 4 x₂ = (2 - 6) / 2 x₂ = -4 / 2 x₂ = -2

Теперь определим знак производной на каждом из интервалов, образованных этими корнями: 1. x < -2 2. -2 < x < 4 3. x > 4

Для каждого интервала определим знак производной, используя тестовую точку: 1. Пусть x = -3 f'(-3) = (-3)² - 2*(-3) - 8 = 9 + 6 - 8 = 7 > 0 Значит, f'(x) > 0 при x < -2

2. Пусть x = 0 f'(0) = 0² - 2*0 - 8 = -8 < 0 Значит, f'(x) < 0 при -2 < x < 4

3. Пусть x = 5 f'(5) = 5² - 2*5 - 8 = 25 - 10 - 8 = 7 > 0 Значит, f'(x) > 0 при x > 4

Таким образом, неравенство f'(x) ⩾ 0 выполняется при x ≤ -2 и при x ≥ 4.

Ответ: Решением неравенства f'(x) ⩾ 0 является множество всех x, таких что x ≤ -2 или x ≥ 4.