Question

Знайти площу фігури, обмеженої лініями =3x-x²,y=0,x=0,x=1 А ещё y=x²+1,y=0,x=0,x=1

Answer 1

смотрите фото.................

Answer 2

Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями, нам нужно использовать интегралы. Давайте разобъем задачу на две части и найдем площадь каждой из них.

Первая фигура:

Фигура ограничена линиями y = 3x - x², y = 0, x = 0 и x = 1. Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной этими линиями, мы можем использовать формулу для площади под кривой, выраженной через интеграл: S = ∫[a, b] f(x) dx

Где: - S - площадь фигуры - a и b - границы интегрирования - f(x) - функция, описывающая верхнюю границу фигуры

В данном случае, верхняя граница фигуры задана функцией y = 3x - x². Границы интегрирования - x = 0 и x = 1. Таким образом, мы можем записать интеграл для первой фигуры следующим образом: S1 = ∫[0, 1] (3x - x²) dx

Вычислим этот интеграл:

S1 = ∫[0, 1] (3x - x²) dx = [3/2 * x² - 1/3 * x³] |[0, 1]

Подставим верхнюю и нижнюю границы интегрирования:

S1 = (3/2 * 1² - 1/3 * 1³) - (3/2 * 0² - 1/3 * 0³)

Упростим выражение:

S1 = (3/2 - 1/3) - (0 - 0) = 9/6 - 2/6 = 7/6

Вторая фигура:

Фигура ограничена линиями y = x² + 1, y = 0, x = 0 и x = 1. Аналогично первой фигуре, мы можем записать интеграл для второй фигуры: S2 = ∫[0, 1] (x² + 1) dx

Вычислим этот интеграл:

S2 = ∫[0, 1] (x² + 1) dx = [1/3 * x³ + x] |[0, 1]

Подставим верхнюю и нижнюю границы интегрирования:

S2 = (1/3 * 1³ + 1) - (1/3 * 0³ + 0)

Упростим выражение:

S2 = (1/3 + 1) - (0 + 0) = 4/3

Итоговая площадь:

Чтобы найти итоговую площадь фигуры, ограниченной всеми линиями, мы сложим площади каждой из частей: S = S1 + S2

Подставим значения S1 и S2:

S = 7/6 + 4/3

Упростим выражение:

S = 7/6 + 8/6 = 15/6

Итоговая площадь фигуры, ограниченной линиями y = 3x - x², y = 0, x = 0, x = 1, y = x² + 1, y = 0, x = 0 и x = 1, равна 15/6.