Question

Знайти похідну функції y=x^6+1/x^2

Answer 1

Ответ:       y ' = 6x⁵ - 2/x³ .

Объяснение:

    y = x⁶ + 1/x² = x⁶ + x⁻² ;

    y ' = ( x⁶ + x⁻² )' = 6x⁵ - 2x⁻³ = 6x⁵ - 2/x³ .

Answer 2

Щоб знайти похідну функції $y = x^6 + \frac{1}{x^2}$, скористаємося правилом диференціювання суми:

$\frac{d}{dx} (f(x) + g(x)) = \frac{d}{dx} f(x) + \frac{d}{dx} g(x)$.

Для першого доданку $f(x) = x^6$ застосуємо правило степеневого диференціювання:

$\frac{d}{dx} (x^n) = n \cdot x^{n-1}$.

Отже, $\frac{d}{dx} (x^6) = 6x^{6-1} = 6x^5$.

Для другого доданку $g(x) = \frac{1}{x^2}$ скористаємося правилом диференціювання дробової функції:

$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{f(x)}\right) = -\frac{f'(x)}{(f(x))^2}$.

У нашому випадку $f(x) = x^2$, тому $f'(x) = 2x$. Тоді

$\frac{d}{dx} \left(\frac{1}{x^2}\right) = -\frac{2x}{(x^2)^2} = -\frac{2x}{x^4} = -\frac{2}{x^3}$.

Тепер, застосуємо правило диференціювання суми:

$\frac{d}{dx} (x^6 + \frac{1}{x^2}) = \frac{d}{dx} (x^6) + \frac{d}{dx} (\frac{1}{x^2}) = 6x^5 - \frac{2}{x^3}$.

Отже, похідна функції $y = x^6 + \frac{1}{x^2}$ дорівнює $6x^5 - \frac{2}{x^3}$.