Question

В параллелограмме ABCD точки M, N, K, L лежат на стооронах AB, BC, CD и AD соответственно, причем AM:MB = CK:KD = 1:3, BN:CN = DL:LA = 1:4. Нужно доказать, что MN и LK параллельны. P.S. Прошу, сделайте решение подробно и, желательно, не картинкой (мне сложно воспринимать подчерк). Заранее спасибо!

Answer 1

Ответ:

Объяснение: введёь обозначения AB=CD=a BC=AD=b? тогда BN=LD=1/5b и MB=KD=3/4a, угла B и D равны, значит треугольники MBN и KDL равны по первому признаку равенства треугольников, а значит MN=LK. аналогично получим, что NK=ML, это значит, что четыреугольник MNKL - параллелограмм и поэтому MN и LK параллельны

Answer 2

Для доказательства параллельности отрезков MN и LK в параллелограмме ABCD, мы можем воспользоваться теоремой Фалеса.

Теорема Фалеса гласит: Если на двух прямых AB и CD, пересекающихся в точке O, провести параллельные прямые EF и GH, соответственно, то справедливо следующее соотношение длин:

(OE/OF) = (OG/OH)

Для начала, давайте рассмотрим треугольник AOM. Поскольку AM:MB = 1:3, можно сказать, что AO делит отрезок BM в отношении 1:3. Аналогичным образом, из условия CK:KD = 1:3 следует, что CO делит отрезок KD в отношении 1:3.

Из этого следует, что AO и CO делят соответственно стороны AB и CD параллелограмма ABCD в одинаковом отношении 1:3. Теперь мы можем обозначить точку пересечения сторон AB и CD как точку O.

Далее, рассмотрим треугольник BON. Из условия BN:CN = 1:4 следует, что BO делит отрезок CN в отношении 1:4. Аналогично, из условия DL:LA = 1:4 следует, что DO делит отрезок LA в отношении 1:4.

Таким образом, BO и DO делят соответственно стороны BC и AD параллелограмма ABCD в одинаковом отношении 1:4. По определению, точка O также является точкой пересечения сторон BC и AD.

Теперь мы можем применить теорему Фалеса. Поскольку отрезки AO и CO делят соответственно стороны AB и CD в одинаковом отношении 1:3, а отрезки BO и DO делят соответственно стороны BC и AD в одинаковом отношении 1:4, то справедливо следующее:

(AN/NC) = (AO/OB) = (CO/OD) = (BM/MD)

Теперь мы знаем, что отношение длин отрезков AN и NC равно отношению длин отрезков BM и MD. Это означает, что отрезки MN и LK делят стороны BC и AD параллелограмма ABCD в одинаковых отношениях. Следовательно, по теореме Фалеса, отрезки MN и LK параллельны.

Таким образом, мы доказали, что отрезки