Question

Найти производную функции х^2+ху^2+х^у=2​

Answer 1

$x^2+xy^2+x^y=2$

Найдем производную левой и правой части:

$(x^2+xy^2+x^y)'=2'$

$(x^2)'+(xy^2)'+(x^y)'=0$

$2x+x'\cdot y^2+x\cdot(y^2)'+(x^y)'=0$

$2x+1\cdot y^2+x\cdot2y\cdot y'+(x^y)'=0$

$2x+y^2+2xy\cdot y'+(x^y)'=0$

Отдельно найдем производную показательно-степенной функции с помощью логарифмического дифференцирования:

Обозначим: $f(x)=x^y$

$\ln f(x)=\ln x^y$

$\ln f(x)=y\ln x$

$(\ln f(x))'=(y\ln x)'$

$\dfrac{1}{f(x)} \cdot f'(x)=y'\cdot\ln x+y\cdot(\ln x)'$

$\dfrac{1}{f(x)} \cdot f'(x)=\ln x\cdot y'+y\cdot\dfrac{1}{x}$

$f'(x)=f(x)\cdot\left(\ln x\cdot y'+\dfrac{y}{x} \right)$

$f'(x)=x^y\cdot\left(\ln x\cdot y'+\dfrac{y}{x} \right)$

$f'(x)=x^y\cdot\ln x\cdot y'+x^y\cdot\dfrac{y}{x}$

$f'(x)=x^y\ln x\cdot y'+x^{y-1}y$

$\Rightarrow (x^y)'=x^y\ln x\cdot y'+x^{y-1}y$

Тогда получим:

$2x+y^2+2xy\cdot y'+x^y\ln x\cdot y'+x^{y-1}y=0$

Оставим в левой части столько слагаемые, содержащие производную:

$2xy\cdot y'+x^y\ln x\cdot y'=-(2x+y^2+x^{y-1}y)$

$(2xy+x^y\ln x)\cdot y'=-(2x+y^2+x^{y-1}y)$

$\boxed{y'=-\dfrac{2x+y^2+x^{y-1}y}{2xy+x^y\ln y} }$

Answer 2

Для нахождения производной функции $x^2 + xy^2 + x^y = 2$ относительно переменной $x$, мы должны продифференцировать каждый член уравнения по отдельности. Для этого используем правило дифференцирования сложной функции.

Начнем с первого члена $x^2$. Его производная равна $2x$, так как производная от $x^n$ равна $nx^{n-1}$.

Перейдем ко второму члену $xy^2$. Здесь у нас производная произведения двух функций. Применим правило производной произведения: $\frac{d}{dx}(u \cdot v) = u' \cdot v + u \cdot v'$, где $u = x$ и $v = y^2$.

Таким образом, производная второго члена равна: $1 \cdot y^2 + x \cdot \frac{d}{dx}(y^2)$.

Дифференцируем $y^2$ относительно $x$ с учетом того, что $y$ - функция от $x$. Поэтому мы должны применить правило дифференцирования сложной функции: $\frac{d}{dx}(u^n) = \frac{du}{dx} \cdot n \cdot u^{n-1}$, где $u = y$ и $n = 2$.

Производная $y^2$ равна: $\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{dy}{dx} \cdot 2y$.

Теперь вернемся ко второму члену и запишем его производную: $y^2 + x \cdot \frac{d}{dx}(y^2) = y^2 + x \cdot \frac{dy}{dx} \cdot 2y$.

Перейдем к третьему члену $x^y$. Здесь у нас снова производная произведения функций. Правило дифференцирования произведения будет таким же, как во втором члене.

Производная третьего члена равна: $1 \cdot x^y + (x^y \cdot \frac{d}{dx}(y)) = x^y + x^y \cdot \frac{dy}{dx}$.

Теперь мы можем записать производную всего уравнения: $2x + y^2 + x \cdot \frac{dy}{dx} \cdot 2y + x^y \cdot \frac{dy}{dx} = 0$.

Это будет наша производная функции относительно переменной $x$.