Question

Решите систему тригонометрических уравнений sin2x*cosy=1/4 cosx*siny=1/4

Answer 1

6
x + y = П/4
sinx/cosx + siny/cosy = 1 | x,y <> П/2 + Пk

sinx*cosy + siny*cosx = cosx*cosy
sin(x+y) = cosx*cosy
cosx*cosy = sin(П/4)
cosx*cos(П/4-x) = sin(П/4)
cosx*(cos(П/4)*cos(x) + sin(П/4)*sin(x)) = sin(П/4) | cos(П/4) = sin(П/4)
cosx*(cosx+sinx) = 1
cos^2x + cosx*sinx = 1
cosx*sinx - sin^2x = 0
sinx*(cosx - sinx) = 0
sinx = 0 -> x = Пk, y = П/4 - Пk
cosx = sinx -> x = П/4 - Пk, y = Пk

7
cos^2x = sinx*siny
sin^2x = cosx*cosy

1 = sinx*siny + cosx*cosy
1 = cos(x-y)
x-y = П/2 + 2Пk, y = x + П/2 + 2Пk
cos^2x = sinx*sin(x+П/2) = sinx*cosx -> cosx = 0 | cosx = sinx
sin^2x = cosx*cos(x+П/2) = cosx*(-sinx) -> sinx = 0 | sinx = -cosx
--> cosx = 0 | sinx = 0 --> x = Пn/2, y = П(n+1)/2 + 2Пk

8
cosx*sqrt(cos2x) = 0 | cos2x >= 0
2sin^2x = cos(2y-П/3) | 2sin^2x <= 1

cosx*sqrt(cos^2x - sin^2x) = 0
cosx*sqrt(1 - 2sin^2x) = 0
cosx*sqrt(1 - cos(2y-П/3)) = 0
cosx = 0 -> x = П/2 + Пk - > 2sin^2x > 1 - не подходит
cos(2y-П/3) = 1 - > 2y - П/3 = П/2 + 2Пk -> y = 5П/12 + Пk | cos2x = 1 - 2sin^2x = 1 - cos(2y-П/3) = 0 -> x = П/4 + Пn/2
--> x = П/4 + Пn/2, y = 5П/12 + Пk/2

Answer 2

Для решения данной системы тригонометрических уравнений можно использовать метод замены переменных. Давайте решим систему шаг за шагом.

Пусть u = sin(x), v = cos(y). Тогда уравнения примут вид: (1) sin(2x) * cos(y) = 1/4 (уравнение 1) (2) cos(x) * sin(y) = 1/4 (уравнение 2)

Мы знаем, что sin^2(x) + cos^2(x) = 1, поэтому можно выразить cos(x) через sin(x): cos(x) = sqrt(1 - sin^2(x)).

Заменим cos(x) в уравнении 2: sqrt(1 - sin^2(x)) * sin(y) = 1/4

Теперь выразим sin(y) через v и получим: sqrt(1 - sin^2(x)) * v = 1/4 sqrt(1 - u^2) * v = 1/4 (уравнение 3)

Теперь рассмотрим уравнение 1 и выразим sin(2x) через u: 2sin(x) * cos(x) * cos(y) = 1/4 2u * sqrt(1 - u^2) * v = 1/4 u * sqrt(1 - u^2) * v = 1/8 (уравнение 4)

Теперь у нас есть два уравнения: уравнение 3 и уравнение 4, содержащие переменные u и v. Решим их совместно:

(1) sqrt(1 - u^2) * v = 1/4 (уравнение 3) (2) u * sqrt(1 - u^2) * v = 1/8 (уравнение 4)

Поделим уравнение 4 на уравнение 3: (u * sqrt(1 - u^2) * v) / (sqrt(1 - u^2) * v) = (1/8) / (1/4) u = 1/2

Теперь подставим найденное значение u = 1/2 в любое из уравнений 3 или 4. Например, в уравнение 3:

sqrt(1 - (1/2)^2) * v = 1/4 sqrt(1 - 1/4) * v = 1/4 sqrt(3/4) * v = 1/4 sqrt(3) * v / 2 = 1/4 sqrt(3) * v = 1/2 v = 1/(2 * sqrt(3))

Таким образом, мы получили значения u = 1/2 и v = 1/(2 * sqrt(3)).

Теперь, чтобы найти x и y, мы можем использовать обратные функции синуса и косинуса:

sin(x) = u = 1/2 x = arcsin(1/2) = π/6 + kπ, где k - целое число.

cos(y) =