Question

Відомо, що всі дільники числа n, відмінні від 1, більші, ніж корінь з n. Доведи, що число n — просте. Відповідь напішить з поясненим Будь ласка срочно

Answer 1

Відповідь:Для доведення того, що число n є простим, доведемо його за допомогою доказу "від супротивного". А саме, припустимо, що n - складене число, тобто має принаймні два дільники: 1 і k, де 1 < k < n.

За умовою задачі всі дільники, відмінні від 1, більші, ніж корінь з n, тому k > √n.

Розглянемо добуток цих двох дільників: n = 1 * k > √n * √n = n. Отже, ми отримали суперечність, що такого не може бути, і припущення, що n є складеним числом, є помилковим.

Таким чином, ми довели, що якщо всі дільники числа n, відмінні від 1, більші, ніж корінь з n, то число n є простим.

Пояснення:

Answer 2

Добре, доведемо дане твердження.

Припустимо, що число n не є простим і має дільник d, де d > 1 і d < n. Згідно з умовою, всі дільники числа n, відмінні від 1, більші за корінь з n. Отже, ми можемо записати нерівність:

d > √n

Помножимо обидві частини нерівності на d:

d^2 > d√n

Так як d < n, то ми також можемо записати нерівність:

d√n < n√n

Отже, отримуємо:

d^2 > n√n

Тепер давайте звернемо увагу на останню нерівність. Згідно з нею, ми бачимо, що d^2 більше за n помножене на корінь квадратний з n. Оскільки корінь квадратний з n є додатним числом, n√n теж буде додатним числом. Якщо d^2 більше за додатнє число, то d^2 також буде додатнім числом.

Отже, ми отримали, що d^2 > 0. Але це означає, що d^2 не може бути меншим або рівним нулю. Це протиріччя, оскільки d^2 є квадратом додатного числа d.

Таким чином, наше припущення, що число n не є простим, було невірним. Отже, ми довели, що якщо всі дільники числа n, відмінні від 1, більші за корінь з n, то число n є простим.