Question

Обчисліть суму шести перших членів геометричної прогресії (bn), якщо b3=12, а b4=-24

Answer 1

Відповідь:

bn = b1 * q^(n-1)

де b1 - перший член прогресії, q - знаменник прогресії.

Так як ми знаємо b3 та b4, ми можемо скласти два рівняння, щоб знайти значення b1 та q:

b3 = b1 * q^(3-1) = b1 * q^2 = 12

b4 = b1 * q^(4-1) = b1 * q^3 = -24

Поділивши друге рівняння на перше, ми отримаємо:

q = b4 / b3 = (-24) / 12 = -2

Тепер, знаючи знаменник прогресії q, ми можемо знайти значення b1 з першого рівняння:

b1 = b3 / q^2 = 12 / (-2)^2 = 3

Тепер ми можемо знайти суму перших шести членів геометричної прогресії:

S6 = b1 + b2 + b3 + b4 + b5 + b6

Знаючи формулу для n-го члена, ми можемо записати b2, b5 і b6:

b2 = b1 * q = 3 * (-2) = -6

b5 = b4 / q = (-24) / (-2) = 12

b6 = b5 * q = 12 * (-2) = -24

Підставляючи значення b1, b2, b3, b4, b5 та b6, отримуємо:

S6 = 3 + (-6) + 12 + (-24) + 48 + (-96) = -63

Отже, сума перших шести членів геометричної прогресії дорівнює -63.

Answer 2

Щоб обчислити суму шести перших членів геометричної прогресії (bn), ми спочатку повинні знайти загальний член прогресії (b₁) та знаходити члени прогресії, використовуючи формулу:

bn = b₁ * r^(n-1)

де b₁ - перший член прогресії, r - знаменник прогресії, n - номер члена прогресії.

Знаючи, що b₃ = 12 і b₄ = -24, ми можемо побудувати систему рівнянь, щоб знайти b₁ та r:

Система рівнянь: b₃ = b₁ * r^(3-1) 12 = b₁ * r²

b₄ = b₁ * r^(4-1) -24 = b₁ * r³

Поділимо друге рівняння на перше:

(-24) / 12 = (b₁ * r³) / (b₁ * r²) -2 = r

Таким чином, отримали, що r = -2.

Тепер можемо замінити це значення у першому рівнянні, щоб знайти b₁:

12 = b₁ * (-2)² 12 = 4b₁ b₁ = 12 / 4 b₁ = 3

Таким чином, ми знаходимо, що перший член прогресії (b₁) дорівнює 3, а знаменник прогресії (r) дорівнює -2.

Тепер можемо обчислити суму шести перших членів геометричної прогресії, використовуючи формулу суми геометричної прогресії:

S₆ = b₁ * (1 - r⁶) / (1 - r)

S₆ = 3 * (1 - (-2)⁶) / (1 - (-2))

S₆ = 3 * (1 - 64) / (1 + 2)

S₆ = 3 * (-63) / 3

S₆ = -63

Отже, сума шести перших членів геометричної прогресії дорівнює -63.