Question

Розв’яжіть рівняння: sin3x = √3 Обчислити: cos 75∘ − cos 15∘

Answer 1

Ответ:

зроби відповідь найкращою

Объяснение:

Розв'язуємо рівняння sin3x = √3:

За формулою для подвійного кута:

sin 3x = 2sin x cos 2x

Підставляємо та спрощуємо:

2sin x cos 2x = √3

sin x (2cos² x - 1) = √3/2

sin x cos² x - 1/2 sin x - √3/4 = 0

Застосовуємо формули зведення тригонометричних рівнянь до квадратного рівняння:

t = cos x, sin x = ±√(1 - cos² x) = ±√(1 - t²)

тоді:

t²(2t² - 1) - 1/2 t - √3/4 = 0

2t⁴ - t² - 1/2 t - √3/4 = 0

2t⁴ - t² - 1/2 t + 3/4 - 3/4 - √3/4 = 0

(2t² - √3/2)² = 7/8

2t² - √3/2 = ±√(7/8)

t = ±√((√3 ± √7)/4)

Таким чином, sin x = ±√(1 - cos² x) = ±√(1 - t²) = ±√(1 - (√((√3 ± √7)/4))²) = ±√(1 - (√3 ± √7)/4).

Отже, розв'язки рівняння: x = arcsin(±√(1 - (√3 ± √7)/4)) + kπ, де k - довільне ціле число.

Перевіримо числовими значеннями: sin3x = sin(arcsin(±√(1 - (√3 ± √7)/4)) + kπ) = ±√3, отже рівняння має два розв'язки.

Обчислимо cos 75∘ − cos 15∘:

Використовуючи формули зведення для косинусів суми і різниці кутів, маємо:

cos 75∘ − cos 15∘ = 2sin 45∘ sin 30∘ = 2(√2/2)(1/2) = √2/2.

Answer 2

Для розв'язання рівняння sin(3x) = √3, спочатку знайдемо значення x, а потім підставимо його в рівняння.

sin(3x) = √3

Знайдемо аргумент, для якого sin або cos має значення √3/2. Відомо, що sin(π/3) = √3/2.

Тому 3x = π/3 + 2kπ або 3x = π - π/3 + 2kπ, де k - це ціле число.

Для першого варіанту:

3x = π/3 + 2kπ

x = (π/3 + 2kπ) / 3, де k - ціле число.

Для другого варіанту:

3x = π - π/3 + 2kπ

x = (π - π/3 + 2kπ) / 3, де k - ціле число.

Залежно від умови задачі або обидва рішення, або одне з них може задовольняти.

Тепер обчислимо значення виразу cos 75° - cos 15°.

cos 75° - cos 15° = cos(60° + 15°) - cos(60° - 15°)

Використаємо формулу косинуса суми та різниці:

cos(75°) - cos(15°) = cos(60°)cos(15°) - sin(60°)sin(15°) - cos(60°)cos(15°) + sin(60°)sin(15°)

cos(75°) - cos(15°) = 2cos(60°)cos(15°) - 2sin(60°)sin(15°)

cos(75°) - cos(15°) = 2 * (1/2) * (√3/2) - 2 * (√3/2) * (1/2)

cos(75°) - cos(15°) = √3/2 - √3/2

cos(75°) - cos(15°) = 0

Отже, значення виразу cos 75° - cos 15° дорівнює 0.