Question

Знайдіть значення виразу 3sin x + cos x / 2sin x - cos x , якщо tgx = 3

Answer 1

Ответ:

Выносим за скобки в числителе и в знаменателе множитель cоsx , который потом сократиться , и учтём, что  tgx=sinx/cosx=3 .

$\bf \dfrac{3sinx+cosx}{2sinx-cosx}=\dfrac{cosx\cdot (3\, tgx+1)}{cosx\cdot (2\, tgx-1)}=\dfrac{3\, tgx+1}{2\, tgx-1}=\dfrac{3\cdot 3+1}{2\cdot 3-1}=\dfrac{10}{5}=2$

Answer 2

Щоб знайти значення виразу, спочатку знайдемо значення sin(x) і cos(x) з використанням даного відношення tg(x) = 3.

Ми знаємо, що tg(x) = sin(x) / cos(x), тому можемо записати таке рівняння:

3 = sin(x) / cos(x)

Перенесемо cos(x) на ліву сторону:

3cos(x) = sin(x)

Тепер піднесемо обидві частини рівняння до квадрату:

9cos^2(x) = sin^2(x)

З використанням тригонометричного тотожності sin^2(x) + cos^2(x) = 1, можемо записати:

9cos^2(x) = 1 - cos^2(x)

Перенесемо усі члени, що містять cos(x), на одну сторону:

10cos^2(x) = 1

cos^2(x) = 1/10

cos(x) = ±√(1/10)

Так як tg(x) = 3, то x лежить у другому квадранті, де cos(x) < 0. Тому, ми беремо від'ємне значення:

cos(x) = -√(1/10)

Тепер можемо знайти sin(x) використовуючи tg(x) = sin(x) / cos(x):

3 = sin(x) / (-√(1/10))

sin(x) = -3√(1/10)

Значення sin(x) і cos(x) знайдені.

Підставимо їх у вираз 3sin(x) + cos(x) / 2sin(x) - cos(x):

3sin(x) + cos(x) / 2sin(x) - cos(x) = 3(-3√(1/10)) + (-√(1/10)) / 2(-3√(1/10)) - (-√(1/10))

= -9√(1/10) - √(1/10) / -6√(1/10) + √(1/10)

= (-9 - 1)√(1/10) / (-6 + 1)√(1/10)

= -10√(1/10) / (-5)√(1/10)

= -10 / -5

= 2

Отже