Question

Розвяжіть нерівність решите уравнение помогите пожалуйста cosx – sinx<1​

Answer 1

(sinx−cosx)=1

По формуле содержащего дополнительного угла имеем

−

2

sin

⁡

(

�

−

�

4

)

=

1

sin

⁡

(

�

−

�

4

)

=

−

1

2

�

−

�

4

=

(

−

1

)

�

+

1

⋅

�

4

+

�

�

,

�

∈

�

�

=

(

−

1

)

�

+

1

⋅

�

4

+

�

4

+

�

�

,

�

∈

�

−

2

sin(x−

4

π

)=1

sin(x−

4

π

)=−

2

1

x−

4

π

=(−1)

k+1

⋅

4

π

+πk,k∈Z

x=(−1)

k+1

⋅

4

π

+

4

π

+πk,k∈Z

Answer 2

Для розв'язання нерівності cos(x) - sin(x) < 1, спробуємо спростити її до більш зручної форми.

За допомогою тригонометричних тотожностей, ми знаємо, що cos(x) = sin(π/2 - x). Підставимо це значення у нерівність:

sin(π/2 - x) - sin(x) < 1

Застосуємо тригонометричну тотожність sin(a) - sin(b) = 2cos((a+b)/2)sin((a-b)/2):

2cos((π/2 - x + x)/2)sin((π/2 - x - x)/2) < 1

Спростимо вираз:

2cos(π/4)sin(-x/2) < 1

Оскільки cos(π/4) = sin(π/4) = 1/√2, ми можемо записати:

2 * (1/√2) * sin(-x/2) < 1

Скоротимо вираз:

√2 * sin(-x/2) < 1

Тепер поділимо обидві частини нерівності на √2:

sin(-x/2) < 1/√2

Так як sin(-x) = -sin(x), то ми можемо записати:

-sin(x/2) < 1/√2

Домножимо обидві частини на -1. Зверніть увагу, що зміниться напрямок нерівності:

sin(x/2) > -1/√2

Тепер знайдемо всі значення x/2, для яких синус більший за -1/√2. Для цього використаємо таблицю значень синуса або калькулятор:

-π/2 < x/2 < π/6

Ми отримали інтервальне значення для x/2. Тепер подвоїмо його, щоб знайти інтервальне значення для x:

-π < x < 3π/6

Або, якщо спростити:

-π < x < π/2

Таким чином, розв'язком нерівності cos(x) - sin(x) < 1 є всі значення x, що належать інтервалу (-π, π/2).