Question

Доведіть, що при будь-якому натуральному п значення виразу п3 + 3п2 + 2п кратне 6. Допоможить будьласка

Answer 1

Відповідь:

Пояснення:

n³ + 3n² + 2n = n( n² + 3n + 2 ) = n( n + 1 )( n + 2 ) . Бачимо , що даний вираз розклався на добуток трьох послідовних натуральних чисел . Як відомо , серед них є парне число і число кратне 3 . Тому цей добуток кратний  6 , а тому кратний 6 даний тричлен при будь - якому nЄ N . Доведено .

   

Answer 2

Щоб довести, що вираз п³ + 3п² + 2п є кратним 6 для будь-якого натурального числа п, ми можемо розглянути його залишок при діленні на 6.

Вираз п³ + 3п² + 2п можна переписати як п(п² + 3п + 2). Ми знаємо, що добуток будь-якого числа на 6 є кратним 6, тому ми можемо розглянути окремо кожну складову.

Спочатку розглянемо п² + 3п. Можемо записати його як п(п + 3). Тепер ми маємо два множники, п і (п + 3). В одному з них обов'язково є число, яке ділиться на 2, а в іншому - число, яке ділиться на 3. Це випливає з того, що ми маємо послідовні числа (п і п + 3), одне з яких обов'язково буде парним, а інше - кратним 3.

Таким чином, ми маємо п(п + 3) як добуток двох чисел, одне з яких кратне 2, а інше - кратне 3. Отже, п(п + 3) є кратним 6.

Залишається розглянути перший множник п. Якщо п ділиться на 6, то п³ + 3п² + 2п також буде кратним 6. Якщо п не ділиться на 6, то ми можемо розглянути дві можливості:

1. Якщо п ділиться на 3, але не ділиться на 2, то п³ + 3п² + 2п буде кратним 3, але не буде кратним 6.
2. Якщо п ділиться на 2, але не ділиться на 3, то п³ + 3п² + 2п буде кратним 2, але не буде кратним 6.

Таким чином, випливає, що п³ + 3п² + 2п буде кратним 6 для будь-якого натурального числа п.