Question

СРОЧНО:Докажите что сумма длин медиан треугольника больше его полупериметра но меньше периметра​

Answer 1

Рассмотрим треугольник ABC. Медиана, проходящая из вершины A, делит сторону BC пополам и пересекает противолежащую ей сторону в точке M.

Таким образом, AM является медианой треугольника ABC, и её длина равна половине длины стороны BC. Аналогично, можно определить медианы, проходящие из вершин B и C.

Полупериметр треугольника ABC равен:

s = (AB + AC + BC) / 2

Периметр треугольника ABC равен:

P = AB + AC + BC

Сумма длин медиан равна:

m = AM + BM + CM

Заметим, что в треугольнике ABC каждая медиана является меньшей, чем соответствующая сторона. Это легко увидеть, если вспомнить, что медиана делит сторону пополам.

Таким образом, можно записать следующие неравенства:

AM < BC

BM < AC

CM < AB

Сложим все три неравенства:

AM + BM + CM < AB + AC + BC = P

Таким образом, мы получили, что сумма длин медиан треугольника меньше его периметра.

Теперь докажем, что сумма длин медиан больше его полупериметра. Для этого воспользуемся теоремой о трех медианах:

m^2 = (3/4) (a^2 + b^2 + c^2)

где a, b и c - длины сторон треугольника, а m - длины медиан.

Таким образом, мы можем записать:

4m^2 = 3(a^2 + b^2 + c^2)

Так как a + b + c = 2s, то можно записать:

a^2 + b^2 + c^2 = 2s^2 - 2(ab + bc + ac)

Таким образом, мы можем переписать предыдущее равенство:

4m^2 = 3(2s^2 - 2(ab + bc + ac))

4m^2 = 6s^2 - 6(ab + bc + ac)

2m^2 + 3(ab + bc + ac) = 3s^2

2m^2 + 3P = 6s

2m^2 + 3P = 4s + 2s

2m^2 + 3P > 4s

Таким образом, мы получили, что сумма длин медиан больше его полупериметра.

Таким образом, мы доказали, что сумма длин медиан треугольника больше его полупер

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник ABC, где медианы пересекаются в точке M.

Мы знаем, что медианы треугольника делят каждую из сторон на две равные части. То есть, AM = BM, BM = CM и AM = CM.

Давайте обозначим стороны треугольника как a, b и c, а полупериметр как p.

Теперь рассмотрим сумму длин медиан треугольника:

AM + BM + CM = AM + AM + AM = 3AM

Мы знаем, что медиана треугольника делит сторону пополам, поэтому AM = a/2. Подставим это значение:

3AM = 3(a/2) = (3a)/2

Теперь рассмотрим полупериметр треугольника:

p = (a + b + c)/2

Так как медианы делят каждую из сторон пополам, мы можем записать:

a = 2AM b = 2BM c = 2CM

Подставим эти значения в формулу полупериметра:

p = (2AM + 2BM + 2CM)/2 = (2(AM + BM + CM))/2 = AM + BM + CM

Таким образом, сумма длин медиан треугольника равна полупериметру треугольника:

AM + BM + CM = p

Полученное равенство показывает, что сумма длин медиан треугольника равна его полупериметру.

Теперь рассмотрим периметр треугольника. Периметр - это сумма всех сторон треугольника:

Периметр = a + b + c

Мы знаем, что сумма длин медиан треугольника равна полупериметру:

AM + BM + CM = p

Распишем полупериметр:

p = (a + b + c)/2

Умножим обе части на 2:

2p = a + b + c

Таким образом, получаем:

Периметр = 2p

Мы видим, что периметр треугольника равен удвоенному полупериметру.

Итак, сумма длин медиан треугольника равна полупериметру, то есть:

AM + BM + CM = p

А полупериметр меньше периметра:

p < 2p

Следовательно, сумма длин медиан треугольника больше его полупериметра, но меньше периметра:

AM + BM + CM > p и AM + BM + CM < 2p