Question

Помогите пожалуйста упростить (2+5^1/2)^1/3+(2-5^1/2)^1/3 из этого должна получиться 1

Answer 1

Для упрощения данного выражения, мы можем воспользоваться свойствами арифметических операций и рационализации знаменателей. Вот как это можно сделать:

1. Раскроем корни:

(2 + 5^(1/2))^(1/3) + (2 - 5^(1/2))^(1/3)

2. Заменим 5^(1/2) на √5:

∛(2 + √5) + ∛(2 - √5)

3. Заменим кубические корни на обычные степени:

(2 + √5)^(1/3) + (2 - √5)^(1/3)

4. Воспользуемся свойствами суммы кубических корней:

(∛(2 + √5) + ∛(2 - √5)) + (-1)(∛(2 + √5) + ∛(2 - √5))

5. Сгруппируем одинаковые слагаемые:

2 * ∛(2 + √5) - ∛(2 + √5) + ∛(2 - √5) - ∛(2 - √5)

6. Упростим выражение:

∛(2 + √5) - ∛(2 - √5)

7. Подставим числовые значения:

∛(2 + √5) - ∛(2 - √5) ≈ 1

Таким образом, упрощенное значение выражения равно приближенно 1.

Answer 2

Давайте упростим выражение шаг за шагом.

Выражение: (2+5^(1/2))^(1/3) + (2-5^(1/2))^(1/3)

Первым шагом воспользуемся свойством извлечения корня:

(2+5^(1/2))^(1/3) = [(2+5^(1/2))^2]^(1/6)

Применим формулу (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2:

= [(2^2 + 225^(1/2) + (5^(1/2))^2)]^(1/6)

Упростим:

= [4 + 4*5^(1/2) + 5]^(1/6)

= (9 + 4*5^(1/2))^(1/6)

Аналогично для второго члена:

(2-5^(1/2))^(1/3) = [(2-5^(1/2))^2]^(1/6)

= [(2^2 - 225^(1/2) + (5^(1/2))^2)]^(1/6)

= [4 - 4*5^(1/2) + 5]^(1/6)

= (9 - 4*5^(1/2))^(1/6)

Теперь сложим два полученных члена:

(9 + 45^(1/2))^(1/6) + (9 - 45^(1/2))^(1/6)

Обозначим u = (9 + 45^(1/2))^(1/6) и v = (9 - 45^(1/2))^(1/6).

Тогда:

u + v = (9 + 45^(1/2))^(1/6) + (9 - 45^(1/2))^(1/6)

= u + v

Таким образом, получаем, что выражение (2+5^1/2)^1/3 + (2-5^1/2)^1/3 равно 2(u + v)^(1/3).

Теперь мы видим, что u + v является кубическим корнем числа 2. То есть, (u + v)^(1/3) = 2^(1/3).

Таким образом, исходное выражение равно:

2 * 2^(1/3) = 2^(1/3+1) = 2^4/3 = 2^(2/3) = ∛(2^2) = 2.

Таким образом, исходное выражение равно 2.