Question

Обчисліть площу фігури, обмеженої лініями y = x^2+2, y =x+4.

Answer 1

Ответ:

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої двома лініями y = x^2+2 та y = x+4, потрібно знайти точки їх перетину і обчислити площу між цими двома кривими.

Спочатку знайдемо точки перетину. Поставимо рівняння x^2+2 = x+4 у рівність:

x^2 - x + 2 - 4 = 0,

x^2 - x - 2 = 0.

Тепер ми можемо розв'язати це квадратне рівняння. Застосуємо квадратний корінь:

x = (-(-1) ± √((-1)^2 - 4(1)(-2))) / (2(1)).

Проведемо розрахунки:

x = (1 ± √(1 + 8)) / 2,

x = (1 ± √9) / 2,

x = (1 ± 3) / 2.

Таким чином, маємо дві точки перетину: x = (1 + 3) / 2 = 2 та x = (1 - 3) / 2 = -1.

Після знаходження точок перетину, ми можемо обчислити площу фігури, яка обмежена цими двома кривими. Площу можна обчислити шляхом обчислення інтегралу від різниці цих двох функцій на відрізку між точками перетину.

S = ∫[a, b] (f(x) - g(x)) dx,

де f(x) = x^2+2, g(x) = x+4, a = -1 і b = 2.

S = ∫[-1, 2] (x^2+2 - (x+4)) dx,

Проведемо розрахунки:

S = ∫[-1, 2] (x^2 - x - 2) dx.

S = [x^3/3 - x^2/2 - 2x] [-1, 2].

S = ((2^3/3 - 2^2/2 - 2(2)) - ((-1)^3/3 - (-1)^2/2 - 2(-1))).

S = (8/3 - 2 - 4) - (-1/3 - 1/2 + 2).

S = (8/3 - 2 - 12) - (-1/3 - 1/2 + 2).

S = (8/3 - 2 - 12) - (-2/6 - 3/6 + 12/6).

S = (-18/3) - (11/6).

S = -6 - 11/6.

S = -36/6 - 11/6.

S = -47/6.

Таким чином, площа фігури, обмеженої лініями y = x^2+2 та y = x+4, дорівнює -47/6 одиницям площі.

Объяснение:

Answer 2

Щоб обчислити площу фігури, обмеженої двома заданими лініями, потрібно знайти точки їх перетину та обчислити інтеграл від однієї функції до іншої відповідно до осі x.

Спочатку знайдемо точки перетину ліній, вирішивши систему рівнянь:

y = x^2 + 2 y = x + 4

Підставимо вираз для y з другого рівняння в перше:

x + 4 = x^2 + 2

Перепишемо рівняння у квадратичній формі:

x^2 - x - 2 = 0

Факторизуємо квадратний тричлен:

(x - 2)(x + 1) = 0

Отримали дві можливі точки перетину: x = 2 та x = -1.

Тепер обчислимо інтеграл від однієї функції до іншої відповідно до осі x. Площа фігури дорівнює модулю різниці цих інтегралів:

Площа = |∫(x+4)dx - ∫(x^2+2)dx|

Для обчислення інтегралів, розкриємо їх і отримаємо:

Площа = |(1/2)x^2 + 4x - (1/3)x^3 - 2x + C|

Підставимо межі інтегрування (точки перетину) x = -1 та x = 2:

Площа = |[(1/2)(2)^2 + 4(2) - (1/3)(2)^3 - 2(2)] - [(1/2)(-1)^2 + 4(-1) - (1/3)(-1)^3 - 2(-1)]|

Площа = |[2 + 8 - (8/3) - 4] - [1 - 4 + (1/3) + 2]|

Площа = |[6 - (8/3)] - [-1 + (1/3)]|

Площа = |[18/3 - 8/3] - [3/3 + 1/3]|

Площа = |[10/3] - [4/3]|

Площа = |6/3|

Площа = 2

Отже, площа фігури, обмеженої лініями y = x^2 + 2 та y = x + 4, дорівнює 2.