Question

Докажите тождества: sin4a/1+cos4a=tg2a

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

sin(4*a)/(1 + cos(4*a)) = 2*sin(2*a)*cos(2*a)/( cos^2(2*a) + sin^2(2*a) + cos^2(2*a) - sin^2(2*a)) = 2*sin(2*a)*cos(2*a)/(2*cos^2(2*a)) = sin(2*a)/cos(2*a) = tg(2*a)

Answer 2

Для начала, приведем левую и правую части уравнения к более удобному виду:

Левая часть: sin^4(a) / (1 + cos^4(a))

Правая часть: tan(2a)

Теперь воспользуемся тригонометрическими тождествами, чтобы свести выражение к общему виду:

1. Тождество суммы: tan(2a) = (2tan(a)) / (1 - tan^2(a))

2. Тождество синуса: sin^2(a) = (1 - cos(2a)) / 2

3. Тождество косинуса: cos^2(a) = (1 + cos(2a)) / 2

Теперь заменим sin^4(a) и cos^4(a) в левой части уравнения:

sin^4(a) = (sin^2(a))^2 = ((1 - cos(2a)) / 2)^2 = (1 - cos(2a))^2 / 4

cos^4(a) = (cos^2(a))^2 = ((1 + cos(2a)) / 2)^2 = (1 + cos(2a))^2 / 4

Теперь подставим эти значения в левую часть уравнения:

sin^4(a) / (1 + cos^4(a)) = (1 - cos(2a))^2 / (1 + cos(2a))^2

Теперь приведем правую часть уравнения к общему знаменателю:

(2tan(a)) / (1 - tan^2(a)) = (2sin(a) / cos(a)) / (1 - (sin(a) / cos(a))^2) = 2sin(a) / cos(a) * (cos(a))^2 / (cos(a))^2 - (sin(a))^2 = 2sin(a)cos(a) / (cos^2(a) - sin^2(a))

Теперь заменим sin^2(a) и cos^2(a) с использованием тождеств синуса и косинуса:

2sin(a)cos(a) / (cos^2(a) - sin^2(a)) = 2sin(a)cos(a) / ((1 + cos(2a)) / 2 - (1 - cos(2a)) / 2) = 2sin(a)cos(a) / (cos(2a)) = sin(2a)

Таким образом, мы получили, что левая часть уравнения равна правой части:

(1 - cos(2a))^2 / (1 + cos(2a))^2 = sin(2a)

Таким образом, тождество sin^4(a) / (1 + cos^4(a)) = tan(2a) доказано.