Question

Xy'-2y=2x^4 общее и частное решение дифференциального уравнения

Answer 1

$xy'-2y=2x^4$

$y'-\dfrac{2}{x}\cdot y=2x^3$

Решение ищем в виде произведения ненулевых функций:

$y=uv$

$y'=u'v+v'u$

Подставляем:

$u'v+v'u-\dfrac{2}{x}\cdot uv=2x^3$

Пусть сумма первого и третьего слагаемого в левой части равна 0:

$u'v-\dfrac{2}{x}\cdot uv=0$

$u'-\dfrac{2}{x}\cdot u=0$

$u'=\dfrac{2}{x}\cdot u$

$\dfrac{du}{dx} =\dfrac{2}{x}\cdot u$

$\dfrac{du}{u} =\dfrac{2dx}{x}$

$\int\dfrac{du}{u} =\int\dfrac{2dx}{x}$

$\ln|u| =2\ln|x|$

$\ln|u| =\ln x^2$

$u =x^2$

Тогда второе слагаемое в левой части равно правой части:

$v'u=2x^3$

$v'\cdot x^2=2x^3$

$v'=2x$

$\dfrac{dv}{dx} =2x$

$dv=2xdx$

$\int dv=\int2xdx$

$v=x^2+C$

Общее решение:

$y=uv=x^2(x^2+C)=x^4+Cx^2$

Частное решение. Пусть $C=1$:

$y_c=x^4+x^2$

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение является линейным уравнением первого порядка, и мы можем решить его с помощью метода вариации постоянной.

1. Общее решение дифференциального уравнения:

Шаг 1: Решим соответствующее однородное уравнение xy' - 2y = 0.

Это уравнение является уравнением Эйлера и может быть решено с помощью метода замены переменных y = x^m:

xy' - 2y = 0 x(m x^(m-1)) - 2x^m = 0 m x^m - 2x^m = 0 x^m (m - 2) = 0

Получаем два возможных решения:

1. m = 0;
2. m = 2.

Таким образом, общее решение однородного уравнения будет иметь вид: y_h = C_1 * x^0 + C_2 * x^2, где C_1 и C_2 - произвольные постоянные.

Шаг 2: Найдем частное решение неоднородного уравнения xy' - 2y = 2x^4.

Предположим, что частное решение имеет вид y_p = A * x^4, где A - некоторая постоянная.

Вычислим производную y_p: y_p' = 4A * x^3.

Подставим y_p и y_p' в исходное уравнение: x * (4A * x^3) - 2(A * x^4) = 2x^4, 4A * x^4 - 2A * x^4 = 2x^4, 2A * x^4 = 2x^4, A = 1.

Таким образом, частное решение будет: y_p = x^4.

2. Частное решение дифференциального уравнения:

Общее решение дифференциального уравнения y = y_h + y_p: y = C_1 + C_2 * x^2 + x^4, где C_1 и C_2 - произвольные постоянные.