Question

Постройте график функции f(x)=x^2-4x+1 и по графику определите, при каких значениях параметра а уравнение f(x)=a не имеет корней

Answer 1

$f(x)=x^2-4x+1 \\ f(x)=a$
1. Строим график функций:
$f(x)=x^2-4x+1=x^2-4x+1+3-3=(x-2)^2-3$
Вершина параболы имеет координаты (2;-3)
Ветви параболы смотрят вверх, т.к. $a \ \textgreater \ 0$
2. $f(x_{min}) = -3$
Если $a \in (-3;+\infty)$ то два решения
Если $a = -3$ то одно решение, либо два одинаковых
Если $a \in (-\infty;-3)$ решений нет

Answer 2

Для построения графика функции f(x) = x^2 - 4x + 1 и определения значений параметра а, при которых уравнение f(x) = a не имеет корней, мы можем использовать два метода: графический и аналитический.

Метод графика:

1. Нарисуем график функции f(x) = x^2 - 4x + 1.
2. Затем нарисуем горизонтальную линию на высоте a.
3. Определим, при каких значениях параметра a график функции f(x) не пересекает эту горизонтальную линию.

Метод анализа:

1. Рассмотрим уравнение f(x) = a и запишем его в виде x^2 - 4x + 1 = a.
2. Приведем уравнение к каноническому виду, чтобы выяснить условия на параметр a. x^2 - 4x + (1 - a) = 0.
3. Определим дискриминант квадратного уравнения: D = (-4)^2 - 4 * 1 * (1 - a) = 16 - 4(1 - a) = 16 - 4 + 4a = 4a + 12.
4. Уравнение не имеет корней, если дискриминант отрицательный: D < 0. 4a + 12 < 0. 4a < -12. a < -3.

Итак, при значениях параметра а меньше -3 уравнение f(x) = a не имеет корней.

Ниже приведен график функции f(x) = x^2 - 4x + 1, где параметр a обозначен горизонтальной линией:

luaCopy code
      |
      |
a1 ---|             ---------------
      |         ----                 ----
      |     ---                          ----
      |  ---
a2 ---|

      |
      |
    -3 |_______________________________________
      |
      |

На графике видно, что при значениях параметра a меньше -3 (обозначено как a1) график функции f(x) не пересекает горизонтальную линию. При значениях параметра a больше или равных -3 (обозначено как a2) график функции f(x) пересекает горизонтальную линию и имеет корни.