Question

Решите уравнение : sin (x/2) + cosx = 1

Answer 1

$\sin\dfrac{x}{2}+\cos x=1\\ \sin\dfrac{x}{2}-(1- \cos x)=0\\ \sin\dfrac{x}{2}-2\sin^2\dfrac{x}{2}=0\\ \sin\dfrac{x}{2}(2\sin\dfrac{x}{2}-1)=0\\ \\ \\ \sin\dfrac{x}{2}=0\\ \dfrac{x}{2}= \pi k\\ x=2 \pi k\\ \\ \sin\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}\\ \dfrac{x}{2}=\left[\begin{array}{I} \dfrac{\pi}{6}+2 \pi k \\ \dfrac{5 \pi}{6}+2 \pi k \end{array}}$

$x=\left[\begin{array}{I} \dfrac{\pi}{3}+4 \pi k \\ \dfrac{5 \pi}{3}+ 4 \pi k \end{array}}$

Ответ: $x=\left[\begin{array}{I} 2 \pi k \\ \dfrac{\pi}{3}+4 \pi k \\ \dfrac{5 \pi}{3}+4 \pi k \end{array}}; \ k \in \mathbb{Z}$

Answer 2

Для решения данного уравнения нам понадобится использовать тригонометрические тождества. Давайте посмотрим, как можно решить данное уравнение.

sin(x/2) + cos(x) = 1

Мы можем воспользоваться тождеством суммы для косинуса:

sin(x/2) + cos(x) = 2sin(x/2 + π/4)cos(x/2 - π/4)

Теперь у нас есть:

2sin(x/2 + π/4)cos(x/2 - π/4) = 1

Мы можем записать sin(x/2 + π/4) и cos(x/2 - π/4) в виде выражений для синуса и косинуса суммы углов:

sin(x/2)cos(π/4) + cos(x/2)sin(π/4) = 1

√2/2 * sin(x/2) + √2/2 * cos(x/2) = 1

Упростим уравнение:

sin(x/2) + cos(x/2) = √2

Теперь мы можем возвести оба выражения в квадрат:

(sin(x/2))^2 + 2sin(x/2)cos(x/2) + (cos(x/2))^2 = 2

sin^2(x/2) + cos^2(x/2) + 2sin(x/2)cos(x/2) = 2

Мы можем использовать тригонометрическое тождество sin^2(θ) + cos^2(θ) = 1:

1 + 2sin(x/2)cos(x/2) = 2

2sin(x/2)cos(x/2) = 1

sin(x) = 1

Теперь мы можем найти значения угла x, удовлетворяющие уравнению sin(x) = 1. Одно из таких значений это:

x = π/2 + 2πn, где n - целое число.

Итак, решением уравнения sin(x/2) + cos(x) = 1 является x = π/2 + 2πn, где n - целое число.