Question

Y'-xy^2=2xy Решить дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Answer 1

$y'-xy^2=2xy\\ \\ y'=xy(y+2)$

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.

$\dfrac{dy}{dx}=xy(y+2)\\ \\ \displaystyle \int \dfrac{dy}{y(y+2)}=\int xdx~~\Rightarrow~~~\dfrac{1}{2}\int \left(\dfrac{1}{y}-\dfrac{1}{y+2}\right)dy=\int xdx\\ \\ \\ \dfrac{1}{2}\left(\ln|y|-\ln|y+2|\right)=\dfrac{x^2}{2}+C\\ \\ \ln\bigg|\dfrac{y}{y+2}\bigg|=x^2+C\\ \\ \dfrac{y}{y+2}=Ce^{x^2}\\ \\ \\ 1-\dfrac{2}{y+2}=Ce^{x^2}\\ \\ \\ \boxed{y=\dfrac{2}{1-Ce^{x^2}}-2}$

Получили общее решение и это ответ.

Answer 2

Дано дифференциальное уравнение:

Y' - xy^2 = 2xy

Для решения этого уравнения с разделяющимися переменными, мы будем разделять переменные и интегрировать обе стороны отдельно.

Перенесем все члены с y на одну сторону уравнения:

Y' = xy^2 + 2xy

Теперь разделим переменные, переместив y-зависимые члены на одну сторону и x-зависимые члены на другую:

dy/y^2 = (x + 2)dx

Интегрируем обе стороны уравнения:

∫(dy/y^2) = ∫(x + 2)dx

Чтобы интегрировать левую сторону, воспользуемся заменой переменной. Пусть u = y, тогда du = dy. Тогда левая сторона уравнения станет:

∫(du/u^2) = ∫(x + 2)dx

Интегрируем обе стороны:

-1/u = (1/2)x^2 + 2x + C

где C - произвольная постоянная интегрирования.

Теперь решим полученное уравнение относительно y:

-1/u = (1/2)x^2 + 2x + C

Переведем обратно u в y:

-1/y = (1/2)x^2 + 2x + C

Избавимся от отрицательного знака, умножив обе стороны на -1:

1/y = -(1/2)x^2 - 2x - C

Возьмем обратную величину от обеих сторон уравнения:

y = -1/((1/2)x^2 + 2x + C)

Таким образом, решением данного дифференциального уравнения является функция:

y = -1/((1/2)x^2 + 2x + C)

где C - произвольная постоянная.