Question

Решить уравнение Sin^2x-cos^2x=cos4x

Answer 1

Решение задания смотри на фотографии

Answer 2

Давайте решим данное уравнение:

sin^2(x) - cos^2(x) = cos(4x)

Перепишем синус и косинус в виде квадратов:

(1 - cos^2(x)) - cos^2(x) = cos(4x)

Раскроем скобки:

1 - 2cos^2(x) = cos(4x)

Перепишем cos(4x) в виде выражения с помощью формулы двойного угла:

1 - 2cos^2(x) = cos^2(2x) - sin^2(2x)

Приведём подобные слагаемые:

1 - 2cos^2(x) = cos^2(2x) - (1 - cos^2(2x))

Упростим выражение:

1 - 2cos^2(x) = 2cos^2(2x) - 1

Перенесём все слагаемые на одну сторону уравнения:

2cos^2(x) + 2cos^2(2x) - 2 = 0

Разделим уравнение на 2:

cos^2(x) + cos^2(2x) - 1 = 0

Можем заметить, что данное уравнение является квадратным относительно cos(x). Заменим cos(2x) на 1 - 2sin^2(x):

cos^2(x) + (1 - 2sin^2(x))^2 - 1 = 0

Раскроем квадрат:

cos^2(x) + 1 - 4sin^2(x) + 4sin^4(x) - 1 = 0

Упростим выражение:

4sin^4(x) - 4sin^2(x) + cos^2(x) = 0

Теперь у нас есть уравнение относительно sin(x). Заменим cos^2(x) на 1 - sin^2(x):

4sin^4(x) - 4sin^2(x) + 1 - sin^2(x) = 0

Объединим слагаемые:

4sin^4(x) - 5sin^2(x) + 1 = 0

Мы получили квадратное уравнение относительно sin(x). Решим его, например, с помощью подстановки.

Пусть u = sin^2(x):

4u^2 - 5u + 1 = 0

Факторизуем данное квадратное уравнение:

(4u - 1)(u - 1) = 0

Имеем два возможных значения:

1. 4u - 1 = 0 4u = 1 u = 1/4

   Подставляем обратно u = sin^2(x): sin^2(x) = 1/4

   Извлекаем квадратный корень: sin(x) = ±1/2

   Решаем уравнение sin(x) = 1/2: x = π