Question

Прямая y=2x+2 является касательной к графику функции x^2-4x+c. Найдите c.

Answer 1

Наша функция - парабола, и чтобы прямая касалась нашей функции, у системы:

$\left \{ {{y=2x + 2} \atop {y=x^2 - 4x + c}} \right.$

должно быть 1 решение.

Вычтем из второй строки первую:

$x^2 - 4x + c - (2x + 2) = x^2 - 6x + c - 2 = 0$

Уравнение квадратное, а нам нужно 1 решение. Найдём такое $c$, что дискриминант будет равен 0:

$D = (-6)^2 - 4 * 1 * (c - 2) = 36 - 4c + 8 = 0 \Rightarrow c = 44/4 = 11$

Answer 2

Чтобы прямая y = 2x + 2 была касательной к графику функции f(x) = x^2 - 4x + c, необходимо, чтобы уравнение f(x) = 2x + 2 имело единственное решение. В таком случае, значение x, при котором это решение возникает, будет координатой точки касания, а значение f(x) в этой точке будет равно y-координате точки касания.

Подставим 2x + 2 вместо f(x) и получим уравнение: 2x + 2 = x^2 - 4x + c

Теперь приведем это уравнение к квадратному виду, приравняв его к нулю: x^2 - 6x + (c - 2) = 0

Для того чтобы имелось единственное решение, дискриминант этого уравнения должен быть равен нулю. Дискриминант D вычисляется по формуле D = b^2 - 4ac. В данном случае a = 1, b = -6 и c = (c - 2). Подставим эти значения в формулу для дискриминанта и приравняем к нулю:

D = (-6)^2 - 4(1)(c - 2) 0 = 36 - 4c + 8 4c = 44 c = 11

Таким образом, значение c равно 11.