Question

Знайти екстремум функції y = 2x3 – 3x2

Answer 1

Дана функция:

$y = 2 {x}^{3} - 3{x}^{2}$

Найдём её производную:

$y' = (2 {x}^{3} - 3{x}^{2} )' = 6 {x}^{2} - 6x$

Приравняем её к нулю:

$6 {x}^{2} - 6x = 0 \\ {x}^{2} - x = 0 \\ x(x - 1) = 0 \\ x = 0 \\ x = 1$

Получили 2 точки возможного экстремума. Теперь выбираем числа по обе стороны от данных точек, подставляем в производную и смотрим на её знак:

$x_{0}= - 1 = > y' (x_{0})= 12 > 0$

В точке -1 производная больше нуля, поэтому функция возрастает;

$x_{1} = 0.5 = > y'(x_{1}) = - 1.5 < 0$

В точке 0.5 производная меньше нуля, а значит функция, убывает;

$x_{2} = 2 = > y'(x_{2}) = 12 > 0$

В точке 2 производная больше нуля, значит функция возрастает.

В итоге получаем, что до точки 0 функция росла, между 0 и 1 – убывала, а от точки 1 – опять росла, поэтому точка 0 – максимум функции, а точка 1 – её минимум.

Answer 2

Щоб знайти екстремуми функції $y = 2x^3 - 3x^2$, необхідно взяти похідну функції за $x$ і прирівняти його до нуля, а потім знайти значення $x$, що відповідають цим точкам.

Похідна функції $y = 2x^3 - 3x^2$ обчислюється за правилом диференціювання степеневої функції:

$y' = 6x^2 - 6x$.

Тепер рівняємо $y'$ до нуля і знаходимо значення $x$:

$6x^2 - 6x = 0$.

Факторизуємо це рівняння:

$6x(x - 1) = 0$.

Отримали два можливі значення $x$: $x = 0$ або $x = 1$.

Тепер перевіримо, які значення $y$ відповідають цим точкам.

Підставимо $x = 0$ у початкову функцію:

$y = 2(0)^3 - 3(0)^2 = 0$.

Таким чином, маємо точку (0, 0).

Підставимо $x = 1$ у початкову функцію:

$y = 2(1)^3 - 3(1)^2 = 2 - 3 = -1$.

Таким чином, маємо точку (1, -1).

Отже, функція $y = 2x^3 - 3x^2$ має дві критичні точки: (0, 0) і (1, -1). Щоб визначити, чи є ці точки максимумами або мінімумами, потрібно проаналізувати поведінку функції навколо цих точок, наприклад, застосувати другу похідну або скористатися іншим методом.