Question

Y=ctg2x a)Найдите область определения функции b)Определите наименьший положительный период

Answer 1

Ответ:

1) D(y)=R, кроме x=$\frac{k\pi }{2}$

2) $\frac{T}{a}$, где T-период исходной функции т.е y=ctgx, он равен $\pi$ и a это число стоящее перед x в функции т.е 2

Получается: $\frac{\pi }{2}$

Answer 2

Дана функция y = ctg(2x). Давайте рассмотрим каждый пункт задачи:

a) Область определения функции определяется ограничениями тангенса, так как котангенс является обратной функцией тангенса. Тангенс имеет разрывы при значениях (2n + 1)π/2, где n - целое число. Поэтому, чтобы определить область определения функции ctg(2x), нужно исключить такие значения из области определения тангенса.

Область определения тангенса: R \ {(2n + 1)π/2}, где n - целое число.

Так как ctg(2x) - это обратная функция тангенса, область определения ctg(2x) будет равна интервалам, где тангенс определен. То есть, область определения функции ctg(2x) будет равна:

(-∞, (2n + 1)π/2) U ((2n + 1)π/2, +∞), где n - целое число.

b) Чтобы найти наименьший положительный период функции ctg(2x), нужно найти такое положительное число T, при котором функция ctg(2x) принимает свое значение впервые и вновь через интервал T.

Функция ctg(2x) имеет период π/2. Это означает, что она повторяется через каждый интервал длины π/2. Однако, мы ищем наименьший положительный период. Так как угол 2x внутри функции ctg(2x) изменяется в два раза быстрее, чем в обычной функции ctg(x), наименьший положительный период будет равен половине периода функции ctg(x), то есть π/4.

Таким образом, наименьший положительный период функции y = ctg(2x) равен π/4.