Question

Вычислить площадь фигуры,ограниченной линиями y=x²-2x+1 и y=1+x

Answer 1

Смотри в приложении:

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной данными линиями, необходимо найти точки их пересечения и интегрировать разность функций по переменной x в пределах этих точек.

Для начала найдем точки пересечения линий y = x² - 2x + 1 и y = 1 + x. Приравняем уравнения:

x² - 2x + 1 = 1 + x

Перенесем все в одну сторону:

x² - 2x - x + 1 - 1 = 0

x² - 3x = 0

Факторизуем левую часть:

x(x - 3) = 0

Таким образом, получаем две точки пересечения: x = 0 и x = 3.

Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, интегрируя разность функций y = x² - 2x + 1 и y = 1 + x в пределах от x = 0 до x = 3:

Площадь = ∫[0, 3] (x² - 2x + 1 - (1 + x)) dx

Упрощая выражение:

Площадь = ∫[0, 3] (x² - 2x - x) dx

Площадь = ∫[0, 3] (x² - 3x) dx

Площадь = [x³/3 - (3x²)/2] [0, 3]

Вычисляя разность значений в пределах интегрирования:

Площадь = [(3³/3 - (3(3)²)/2) - (0³/3 - (3(0)²)/2)]

Площадь = [(27/3 - (27/2)) - (0/3 - 0/2)]

Площадь = [(9 - 13.5) - (0 - 0)]

Площадь = [(-4.5) - (0)]

Площадь = -4.5

Таким образом, площадь фигуры, ограниченной линиями y = x² - 2x + 1 и y = 1 + x, составляет -4.5. Обратите внимание, что площадь может быть отрицательной, так как графики пересекаются и одна функция находится выше другой в определенной области.