Question

Lim x->бесконечность (2x^3+x+1)/(3x^3+x^2+1)

Answer 1

Неопределённость ∞/∞ раскрывается делением числителя и знаменателя на икс в максимальной степени, в нашем случае это x³.

$\lim_{n \to \infty} \frac{2 x^{3}+x+1 }{3 x^{3}+ x^{2} +1 }= \lim_{n \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{ x^{2} }+ \frac{1}{ x^{3}}}{3+ \frac{1}{x} + \frac{1}{ x^{3} }}=\frac{2 + \frac{1}{ oo^{2} }+ \frac{1}{ oo^{3}}}{3+ \frac{1}{oo} + \frac{1}{ oo^{3} }}= \frac{2+0+0}{3+0+0} = \frac{2}{3}$

Answer 2

Для вычисления предела данной функции при $x \to \infty$, мы можем применить правило Лопиталя. Для этого возьмем производные числителя и знаменателя и найдем их пределы при $x \to \infty$.

Начнем с нахождения производных:

$$f(x) = \frac{2x^3 + x + 1}{3x^3 + x^2 + 1}$$

Вычислим производную числителя $f'(x)$:

$$f'(x) = \frac{d}{dx}(2x^3 + x + 1) = 6x^2 + 1$$

Теперь найдем производную знаменателя $g'(x)$:

$$g(x) = 3x^3 + x^2 + 1$$

$$g'(x) = \frac{d}{dx}(3x^3 + x^2 + 1) = 9x^2 + 2x$$

Теперь найдем пределы производных при $x \to \infty$:

$$\lim_{{x \to \infty}} f'(x) = \lim_{{x \to \infty}} (6x^2 + 1) = \infty$$

$$\lim_{{x \to \infty}} g'(x) = \lim_{{x \to \infty}} (9x^2 + 2x) = \infty$$

Поскольку пределы производных числителя и знаменателя равны бесконечности, мы можем применить правило Лопиталя. Для этого возьмем отношение производных:

$$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{f'(x)}}{{g'(x)}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{6x^2 + 1}}{{9x^2 + 2x}}$$

Рассмотрим старшие степени $x$ в числителе и знаменателе:

$$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{6x^2 + 1}}{{9x^2 + 2x}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{\frac{{6x^2}}{{x^2}} + \frac{1}{{x^2}}}}{{\frac{{9x^2}}{{x^2}} + \frac{{2x}}{{x^2}}}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{6 + \frac{1}{{x^2}}}}{{9 + \frac{2}{{x}}}}$$

Теперь рассмотрим пределы слагаемых:

$$\lim_{{x \to \infty}} \frac{{6 + \frac{1}{{x^2}}}}{{9 + \frac{2}{{x}}}} = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$$

Итак, предел функции (\frac{{2x^3 + x + 1}}{{3