Question

Найдите наименьший положительный и наибольший отрицательный корни уравнения:   cosx cos3x+0.5=0

Answer 1

cosx cos3x+0.5=0

cos3x cosx = -0.5

1/2 (cos(3x-x)+cos(3x+x)) = -1/2

cos2x+cos4x = -1

cos2x+2cos^2(2x) -1 = -1

cos2x+2cos^2(2x)  = 0

cos2x(1+2cos(2x))  = 0

произведение равно 0, если один изи множителей равен 0

cos2x = 0

x= pi*n/2 - pi/4 , n E Z

или

1+2cos(2x)  = 0

x = 1/3 (3pi*n -pi ) , n E Z

x = 1/3 (3pi*n +pi ) , n E Z

 

наибольший отрицательный  x = - pi/4

наименьший положительный x =  pi/4

 

 

Answer 2

Для решения данного уравнения необходимо использовать тригонометрические тождества, а именно:

cos3x = 4cos^3x - 3cosx

Таким образом, мы можем переписать уравнение в следующем виде:

cosx (4cos^3x - 3cosx) + 0.5 = 0

Упрощаем:

4cos^4x - 3cos^2x + 0.5cosx = 0

Выносим cosx за скобки:

cosx (4cos^3x - 3cosx + 0.5) = 0

Получаем два уравнения:

cosx = 0

4cos^3x - 3cosx + 0.5 = 0

Первое уравнение имеет корни:

x = π/2 + kπ, где k - любое целое число

Теперь найдем корни второго уравнения. Для этого воспользуемся графиком кубической функции y = 4x^3 - 3x + 0.5:


Из графика видно, что наименьшее положительное и наибольшее отрицательное значения функции примерно равны:

x ≈ -0.199 и x ≈ 0.382

Подставляем найденные значения в уравнение cosx = 0.

Для x ≈ -0.199:

cos(-0.199) ≈ 0.98

Для x ≈ 0.382:

cos(0.382) ≈ 0.93

Итак, наименьший положительный корень уравнения cosx cos3x + 0.5 = 0 равен π/2 - 0.199, а наибольший отрицательный корень равен π/2 + 0.382.

Ответ: x1 ≈ 1.27, x2 ≈ -0.199.