Question

1) Докажите тождество, указав область его определения: 1+cos(b)-sin(b)-ctg(b)=(1-ctg(b)(1-sin(b))   2) Найдите sin(a)-cos(a), если sec^2(a)+cosec^2(a)=6.25 и a(альфа) принадлежит (п; 5п/4)

Answer 1

1)  Перемножим правую часть и убедимся в ее тождественном совпадении с левой:

1 + cosb - sinb - ctgb = 1 - ctgb - sinb + cosb.  что и треб. доказать.

Область определения: sinb не равен 0. b не равен Пк, к прин. Z

2) 1/cos^2(a)  +  1/sin^2(a) = 6,25

1/(cos^2(a)*sin^2(a)) = 6,25

cosa * sina = 0,4  (берем с плюсом так как произведение синуса на косинус для угла в III четверти положительно).

sin2a / 2 = 0,4   sin2a = 0,8

Теперь возведем в квадрат искомое выражение, запомнив, что по знаку оно положительно(так как cosa и sina отрицательны, но cosa по модулю больше на данном промежутке).

(sina - cosa)^2 = 1 - sin2a = 1 - 0,8 = 0,2

Теперь извлекаем корень и берем его с плюсом:

(sina - cosa) = кор(0,2) = (кор5)/5

Ответ: (кор5)/5

Answer 2

1. Так как ctg b = cos b/sin b, область определения будет: sin b≠0

                                                                                           b≠πn, n∈Z

Группируем левую часть и выносим общий множитель за скобки.

(1-sin b) - (ctg b - cos b) = 1(1-sin b) - ctg b (1-sin b) = (1-ctg b)(1-sin b), что и требовалось доказать. 

 

2. Преобразовываем данное равенство.

1/cos²a + 1/sin²a = 6,25
1/(cos²a · sin²a) = 6,25
sin² a · cos² a = 0,16
Учитывая данную область определения, получаем:

sin a · сos a = 0,4 
Используя формулу двойного угла, имеем:
sin 2a /2 = 0,4

sin 2a = 0,8
1 - sin 2a = 1 - 0,8

1 - sin 2a = 0,2

sin² a - 2sin a cos a + cos² a = 0,2
(sin a - cos a)² =  0,2
Учитывая область определения, получаем:
sin a - cos a = √(0,2) = √5 / 5

Ответ. √5 / 5 

Answer 3

1) Докажем данное тождество.

Начнем с левой части:

1 + cos(b) - sin(b) - ctg(b) = (1 + cos(b)) - (sin(b) + ctg(b))

Заметим, что sin(b) + ctg(b) = sin(b) + 1/tan(b) = sin(b) + cos(b)/sin(b) = (sin^2(b) + cos(b))/sin(b) = (1 + cos(b))/sin(b)

Таким образом,

1 + cos(b) - sin(b) - ctg(b) = (1 + cos(b)) - (1 + cos(b))/sin(b) = cos(b)(1 - 1/sin(b)) = cos(b) * (sin(b)-1)/sin(b)

Перейдем к правой части:

1 - ctg(b)(1-sin(b)) = 1 - (cos(b)/sin(b))(1 - sin(b)) = 1 - (cos(b) - cos(b)sin(b))/sin(b) = 1 - (cos(b)/sin(b)) + cos(b)

Заметим, что cos(b)/sin(b) = ctg(b), поэтому

1 - ctg(b)(1-sin(b)) = 1 - ctg(b) + cos(b)

Таким образом, мы получили, что левая и правая части равны:

cos(b) * (sin(b)-1)/sin(b) = 1 - ctg(b) + cos(b)

Упрощая выражение, получаем:

cos(b)/sin(b) = ctg(b)

Что и требовалось доказать. Область определения: b не равно k*pi, где k - целое число.

2) Найдем sin(a) - cos(a).

Заметим, что sec^2(a) = 1/cos^2(a) и cosec^2(a) = 1/sin^2(a), поэтому

1/cos^2(a) + 1/sin^2(a) = 6.25

Переносим sin^2(a) на левую сторону и упрощаем выражение:

sin^4(a) - 6.25sin^2(a) + 1 = 0

Решаем квадратное уравнение относительно sin^2(a):

sin^2(a) = (6.25 ± √(39.0625-4))/2 = (6.25 ± 2.5)/2

Так как a находится в интервале (п; 5п/4), то sin(a) < 0 и cos(a) < 0. Поэтому

sin(a) - cos(a) = -√(1-cos^2(a)) - cos(a) = -√(1-sin^2(a)) + sin(a) = -√(6.25-sin^2(a)) + sin(a)

И подставляем найденные значения sin^2(a):

sin(a) - cos(a) = -√(6.25 - (6.25 ± 2.5)/2) + (6.25 ± 2.5)/2 = -√(2.75) + 2.75/2

Таким образом,

sin(a) - cos(a) = 2.75/2 - √(2.75)