Question

При каких значениях параметра р неравенство  рх2+(2р-3)х+(р+3)больше нуля, верно при всех значениях х? Пожалуйста напишите всё очень подробно)

Answer 1

1) При p=0, получим неравенство -3х+3>0, откуда x<1, т.е. оно верно не при всех х, значит p=0 не подходит.
2) При p<0 левая часть задает параболу, ветви которой направлены вниз, поэтому она не лежит целиком в верхней полуплоскости, значит такие p нам не подходят.
3) При p>0 левая часть задает параболу, ветви которой направлены вверх, поэтому неравенство будет выполняться при любом х в случае, когда эта парабола не пересекает ось Ох, т.е. левая часть не имеет корней или, что то же самое,. ее дискриминант отрицателен:
D=(2p-3)²-4p(p+3)=4p²-12p+9-4p²-12p=-24p+9<0,
откуда p>9/24=3/8.
Ответ: p∈(3/8;+∞).

Answer 2

Для того, чтобы решить данное неравенство, необходимо найти дискриминант и проанализировать его значение:

D = (2р - 3)² - 4р(р + 3) = 4р² - 12р + 9 - 4р² - 12р = - 24р + 9

Дискриминант D меньше нуля тогда и только тогда, когда -24p + 9 < 0, то есть p > 3/8.

Для проверки, нужно рассмотреть три случая:

1. Если р > 3/8, то D < 0, и неравенство выполняется при любых значениях х.

2. Если р = 3/8, то D = 0, и неравенство выполняется при любых значениях х, кроме х = 3 / (4р + 3).

3. Если р < 3/8, то D > 0, и неравенство выполняется при значениях х из интервала (-бесконечность; а1) объединенного с (а2; +бесконечность), где а1 и а2 - корни уравнения рх² + (2р - 3)х + (р + 3) = 0.

Таким образом, неравенство  рх² + (2р - 3)х + (р + 3) > 0 выполняется при p > 3/8 и при всех значениях х, при p = 3/8 - за исключением х = 3 / (4р + 3), и при p < 3/8 - только в определенных интервалах х.