Question

СРОЧНО ДАЮ 20 БАЛЛОВ Найдите наименьшее значение функции y=(3x^2+21x-21)*e^x на отрезке [-5;3]​​

Answer 1

Ответ:

- 21

Объяснение:

1) Находим производную:

y' = ((3x²+21x-21) · eˣ))' = (3x²+21x-21)' · eˣ + (eˣ)'· (3x²+21x-21) =

= (6х + 21) · eˣ  + eˣ · (3x²+21x-21) = eˣ · (6х + 21 + 3x²+21x-21) =

= eˣ · (3x² + 27х)

2) Приравняем производную к нулю.

Так как первый сомножитель никогда не равен нулю, то производная равна нулю, если:

3x² + 27х = 0

x² + 9х = 0

х₁,₂ = -4,5 ±√20,25 = -4,5 ± 4,5

х₁ = - 4,5 + 4,5 = 0

х₂ = - 4,5 - 4,5 = -9

3) Отрезке [-5;3]​ принадлежит​ х₁ = 0

4) Исследуем знак производной на участке от -5 до 0:

При х = - 5 производная равна:

(-5)² + 9 · (-5) = 25 - 45 = - 20; производная меньше нуля - значит, функция на этом участке убывает.

5) Исследуем знак производной на участке от 0 до 3:

При х = 3 производная равна:

(3)² + 9 · 3 = 9 + 27 = 36; производная больше нуля - значит, функция на этом участке возрастает.

6) Делаем вывод: на отрезке [-5;3]​​ подозрительная на экстремум точка х = 0 является точкой минимума, соответственно при х = 0 функция

y = (3x²+21x-21) · eˣ равна:

y = (3 · 0² + 21 · 0 -21) · e⁰ = (-21) · 1 = -21

Ответ: - 21

Answer 2

Для решения данной задачи необходимо найти точки экстремума функции на заданном отрезке и сравнить значения функции в этих точках с ее значениями в крайних точках отрезка.

1. Найдем производную функции y по х:
y' = (6x + 24)*e^x + (3x^2 + 21x - 21)*e^x
y' = (3x^2 + 27x + 24)*e^x

2. Найдем точки, в которых производная равна нулю:
3x^2 + 27x + 24 = 0
x^2 + 9x + 8 = 0
(x + 1)*(x + 8) = 0
x1 = -8, x2 = -1

3. Найдем значения функции в найденных точках:
y(-8) = (3*(-8)^2 + 21*(-8) - 21)*e^(-8) ≈ 0.007
y(-1) = (3*(-1)^2 + 21*(-1) - 21)*e^(-1) ≈ -35.057

4. Найдем значения функции в крайних точках отрезка:
y(-5) = (3*(-5)^2 + 21*(-5) - 21)*e^(-5) ≈ -0.003
y(3) = (3*3^2 + 21*3 - 21)*e^(3) ≈ 541.338

5. Сравним полученные значения функции и выберем наименьшее:
Минимальное значение функции равно y(-1) ≈ -35.057

Ответ: наименьшее значение функции y=(3x^2+21x-21)*e^x на отрезке [-5;3] равно примерно -35.057.