Question

Упростить выражение tg(x-П\\4)-tg(x+П\\4)

Answer 1

tg(x-π/4)-tg(x+π/4)   sin(x-π/4)/cos(x-π/4)-sin(x+π/4)/cos(x+π/4)          
 Приводим к общему знаменателю:
(sin(x-π/4)*cos(x+π/4)-sin(x+π/4)*cos(x-π/4)/(cos(x+π/4)*cos(x-π/4)).
Теперь используем формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.
                          Формулы имеют следующий вид:
                            sinx*siny=(cos(x-y)-cos(x+y))/2
                            sinx*cosy=(sin(x-y)+sin(x+y))/2
                            cosx*cosy=(cos(x-y)+cos(x+y))/2.
sin(-π/2)+sin(2x)-(sin(π/2)+sin(2x)/(cos(π/2)+cos(2x))=
(-1+sin(2x)-1-sin(2x))/(0+cos(2x))=-2/cos(2x).

Answer 2

Применим формулу разности тангенсов:

tg(a - b) - tg(a + b) = (tg a - tg b) / (1 + tg a * tg b) - (tg a + tg b) / (1 - tg a * tg b)

Здесь a = x, b = П/4:

tg(x - П/4) - tg(x + П/4) = (tg x - tg П/4) / (1 + tg x * tg П/4) - (tg x + tg П/4) / (1 - tg x * tg П/4)

Так как tg П/4 = 1, получаем:

tg(x - П/4) - tg(x + П/4) = (tg x - 1) / (1 + tg x) - (tg x + 1) / (1 - tg x)

Общий знаменатель получается равным (1 + tg x) * (1 - tg x) = 1 - tg^2 x = cos^2 x:

tg(x - П/4) - tg(x + П/4) = (tg x - 1 + tg x + 1) * cos^2 x / (1 - tg^2 x)

Упрощаем и получаем ответ:

tg(x - П/4) - tg(x + П/4) = 2 cos^2 x / (1 - tg^2 x) = 2 cos^2 x / cos^2 x = 2