Question

помогите решить, много пунктов даю))пожалуйста.   (5х-4у+3)^2+(3x-y-1)^2 найти такие х и у при котором принемает наименьшее значение 

Answer 1

наименьшее значение выражения  равно 0, так как выражение всегда положительное, так как все стоит в квадрате.
Теперь находим y и x.
(5x-4y+3)^2+(3x-y-1)^2 = 0
{ 5x-4y+3= 0,
{  3x-y-1  = 0;
{ 5x-4y = -3,
{ y = 3x -1;
5x - 4 ( 3x -1) = -3
5x - 4x - 4 = -3
{ x = 1,
{ y  = 2.
Ответ: y = 2, х = 1

Answer 2

Наименьшее значение выражения будет когда

5х-4у+3=0  и 

3x-y-1=0

Умножаем 2е на 4 и вычитаем из 1го 2е:

5х-4у+3-12х+4у+4=0

-7х=-7

х=1

Подставляем в любое уравнение и находим у : 5*1+3=4у

у=2

Ответ : (1,2)

Answer 3

Для решения данной задачи нужно найти производные выражения (5x - 4у + 3)² и (3x - y - 1)² по переменным х и у, приравнять их к нулю и решить получившуюся систему уравнений. Таким образом, получим стационарные точки функции, в которых может достигаться её минимум.

Для (5x - 4у + 3)²:

∂/∂x (5x - 4у + 3)² = 10 (5x - 4у + 3)
∂/∂y (5x - 4у + 3)² = -8 (5x - 4у + 3)

Для (3x - y - 1)²:

∂/∂x (3x - y - 1)² = 6 (3x - y - 1)
∂/∂y (3x - y - 1)² = -2 (3x - y - 1)

Приравняем производные к нулю:

10 (5x - 4у + 3) = 0
-8 (5x - 4у + 3) = 0
6 (3x - y - 1) = 0
-2 (3x - y - 1) = 0

Решая эту систему, получим две стационарные точки:

Точка 1: x = 1/5, y = 3/4
Точка 2: x = 1/3, y = 1

Теперь нужно проверить, являются ли эти точки точками минимума функции или нет. Для этого можно взять вторые производные выражений и проверить их знаки в окрестности соответствующих точек.

Для (5x - 4у + 3)²:

∂²/∂x² (5x - 4у + 3)² = 100
∂²/∂y² (5x - 4у + 3)² = -64
∂²/∂x∂y (5x - 4у + 3)² = 0

Для (3x - y - 1)²:

∂²/∂x² (3x - y - 1)² = 18
∂²/∂y² (3x - y - 1)² = -2
∂²/∂x∂y (3x - y - 1)² = -6

Для точки 1:

Подставим значения x = 1/5 и y = 3/4 в выражения для производных:

∂/∂x (5x - 4у + 3)² = 10 (5*1/5 - 4*3/4 + 3) = 10
∂/∂y (5x - 4у + 3)² = -8 (5*1/5 - 4*3/4 + 3) = -8
∂/∂x (3x - y - 1)² = 6 (3*1/5 - 3/4 - 1) = -2/5
∂/∂y (3x - y - 1)² = -2 (3*1/5 - 3/4 - 1) = 14/5

Подставим значения x = 1/5 и y = 3/4 в выражения для вторых производных:

∂²/∂x² (5x - 4у + 3)² = 100
∂²/∂y² (5x - 4у + 3)² = -64
∂²/∂x∂y (5x - 4у + 3)² = 0
∂²/∂x² (3x - y - 1)² = 18
∂²/∂y² (3x - y - 1)² = -2
∂²/∂x∂y (3x