Question

Решите уравнения: 3 cos^2 x/4 + 5cos x/4 -2=0очень срочно,помогите пожалуйста!!!​

Answer 1

• Исходное уравнение:

3 cos² (x/4) + 5 cos (x/4) - 2 = 0

• Пусть cos (x/4) = t, тогда: | t | ≤ 1

• Получаем:

3t² + 5t - 2 = 0

(a = 3, b = 5, c = -2)

D = b² - 4ac = 25 - 4*(-2)*3 = 25 + 24 = 49 = 7²

t₁ = (-b + √D)/2a = (-5 + 7)/2*3 = 2/6 = 1/3

t₂ = (-b - √D)/2a = (-5 - 7)/2*3 = -12/6 = -2

t₂ = -2 - не удовлетворяет условие ( | t | ≤ 0 )

• Значит:

cos (x/4) = 1/3

x/4 = ± arccos 1/3 + 2πk, k ∈ ℤ

x = ± 4*arccos 1/3 + 8πk, k ∈ ℤ

Ответ: x = ± 4*arccos 1/3 + 8πk, k ∈ ℤ

Answer 2

Для решения данного уравнения мы можем использовать замену переменной. Пусть t=cos(x/2). Тогда мы можем выразить cos(x) через t:

cos(x) = 2 cos^2(x/2) - 1 = 2t^2 - 1

Заменяем в начальном уравнении и получаем:

3(2t^2 - 1)^2/4 + 5(2t^2 - 1)/4 - 2 = 0

9t^4 - 4t^2 - 4t + 2 = 0

Это квадратное уравнение относительно t. Решаем его с помощью формулы:

t = [-(-4) ± √((-4)^2 - 4*9*(-4))]/(2*9) = [2 ± √10]/9

Теперь мы можем найти значения cos(x) для каждого из вычисленных t:

cos(x) = 2t^2 - 1 = -1/9 или 4/9

Ответ: уравнение имеет два корня x = π ± 2arccos(-1/9) и x = π ± 2arccos(4/9).