Question

Избавьтесь от иррациональность в знаменателе дроби 1/(корень 3 степени из 2)-√2

Answer 1

$\frac{1}{\sqrt[3]2-\sqrt2}=\frac{\sqrt[3]2+\sqrt2}{(\sqrt[3]2-\sqrt2)(\sqrt[3]2+\sqrt2)}=\frac{\sqrt[3]2+\sqrt2}{\sqrt[3]{2^2}-2}=\\\\=\frac{(\sqrt[3]2+\sqrt2)(\sqrt[3]{4^2}+2\sqrt[3]4+2^2)}{(\sqrt[3]4-2)(\sqrt[3]{4^2}+2\sqrt[3]4+2^2)}=\frac{(\sqrt[3]2+\sqrt2)(\sqrt[3]{16}+2\sqrt[3]4+4)}{(\sqrt[3]4)^3-2^3}=\\\\=-\frac{(\sqrt[3]2+\sqrt2)(\sqrt[3]{16}+2\sqrt[3]2+4)}{4}\\\\\\\star \; \; (a-b)(a+b)=a^2-b^2\; \; \star \\\\\star \; \; (a-b)(a^2+ab+b^2)=a^3-b^3\; \; \star$

Answer 2

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, нужно использовать технику рационализации знаменателя. В данном случае, можно умножить числитель и знаменатель на сопряженное выражение знаменателя, то есть на (корень 3 степени из 2)+√2.

1/(корень 3 степени из 2)-√2 = 1/(корень 3 степени из 2)-√2 * (корень 3 степени из 2)+√2/(корень 3 степени из 2)+√2)

Вычислим знаменатель дроби в знаменателе, используя формулу суммы квадратов:

(корень 3 степени из 2)-√2 * (корень 3 степени из 2)+√2 = (корень 3 степени из 2)² - (√2)² = 3 - 2 = 1

Подставляем обратно в исходное выражение:

1/(корень 3 степени из 2)-√2 * (корень 3 степени из 2)+√2/(корень 3 степени из 2)+√2) = (корень 3 степени из 2)+√2/1

Ответ: (корень 3 степени из 2)+√2.