Question

Хелп! Докажите тождество, пожалуйста. sina+cosa-sin(a-p/6)+cos(a-p/6)=√6cos(a-p/12)

Answer 1

sinα+cosα-sin(α-π/6)+cos(α-π/6)=√6cos(α-π/12);

sinα-sin(α-π/6)+cosα+cos(α-π/6)=

2sin((a-a+π/6)/2)cos((a+a-π/6)/2)+2cos((a+a-π/6)/2)cos((a-a+π/6)/2)=

2sin(π/12)cos(a-π/12)+2cos(a-π/12)cos(π/12)=

2*(1/2)cos(a-π/12)+2(√3/2)cos(a-π/12)=

cos(a-π/12)+√3cos(a-π/12)=(1+√3)cos(a-π/12);

**************

(1+√3)cos(a-π/12)≠√6cos(α-π/12);

1+√3≠√6;

Может неправильно переписали?

Answer 2

Для доказательства данного тождества воспользуемся формулами суммы и разности тригонометрических функций:

sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB

Также воспользуемся тождеством √3/2 = sin(π/3) и cos(π/3) = 1/2.

Теперь начнем преобразования левой части тождества:

sina + cosa - sin(a-p/6) + cos(a-p/6)

= sina + cosa - [sinacos(p/6) - cosasin(p/6)] + [cosacos(p/6) + sinasin(p/6)] (воспользуемся формулами суммы и разности)

= (sina + cosa) + [(cosacos(p/6) + sinasin(p/6)) - (sinacos(p/6) - cosasin(p/6))] (переставим слагаемые)

= (sina + cosa) + [cos(a - p/6)] (упрощаем выражение в скобках)

= (sina + cosa) + [cos(a - π/3 + π/6)] (подставляем значение p/6)

= (sina + cosa) + [cos(a - π/3)cos(π/6) - sin(a - π/3)sin(π/6)] (воспользуемся формулами суммы и разности)

= (sina + cosa) + [(√3/2)cos(a - π/3) - (1/2)sin(a - π/3)] (подставляем значения cos(π/6) и sin(π/6))

= (sina + cosa) + [(√3/2)cos(a - π/3) - (1/2)cos(a - π/3)] (воспользуемся формулой cos(π/2 - x) = sinx)

= (sina + cosa) + [(√3/2 - 1/2)cos(a - π/3)] (упрощаем)

= sina + cosa + √3/2 cos(a - π/3) (упрощаем)

= √6/2[sina + cosa + √3/2 cos(a - π/3)] (воспользуемся тождеством √6/2 = √3/2 * 1/2)

= √6/2[sina + cosa + √3/2 cos(a - π/3) + 1/2 - 1/2] (добавляем и вычитаем 1/2)

= √6/2[(sina + √3/2cosa) + (cos(a - π/3) + 1/2)] (перегруппируем слагаемые)

= √6/2[sin(a - π/6) + cos(a - π/3) + 1/2] (воспользуемся формулами суммы и разности)

= √6/2[cos(π/2